Fisica 1

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1 Cinematica

Definition 1.1 Si definisce del moto (o vettore posizione) la funzione vettoriale \[ \mathbf{r}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3,\quad t \mapsto \mathbf{r}(t) \] che descrive la posizione di un punto materiale nello spazio rispetto al tempo in un determinato sistema di riferimento. Si definisce il luogo geometrico dei punti occupati dal punto materiale durante il suo moto.

Example 1.1 Sia data la legge oraria \(\mathbf{r}(t) = (at, bt^2 + t)\). Ricavando \(t\) dalla prima equazione e sostituendo nella seconda, si ottiene l’equazione della traiettoria parabolica: \(y(x) = \frac{b}{a^2}x^2 + \frac{1}{a}x\).

Example 1.2 Sia data la legge oraria \(\mathbf{r}(t) = (a \cos(\omega t), a \sin(\omega t))\). Eliminando il parametro \(t\), si ottiene l’equazione di una circonferenza di raggio \(a\): \(x^2 + y^2 = a^2\).

Example 1.3 Sia data la legge oraria $ (t) = (a (t), b (t))$. Eliminando il parametro \(t\), si ottiene l’equazione di un’ellisse: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).

Definition 1.2 La descrive il rapporto tra spazio e tempo istante per istante. In simboli: \[ \mathbf{v}(\overline{t}) = \lim_{} \] \[ \mathbf{v}(t) = \lim_{d t \to 0} \frac{d\mathbf{r}}{d t} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}. \]

Definition 1.3 La è il rapporto tra lo spostamento e l’intervallo di tempo: \[ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{d t}. \]

Definition 1.4 Si definiscono le seguenti grandezze vettoriali: \[\begin{align*} \text{Velocità media:} \quad & \bar{\vec{v}} = \frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t} \\ \text{Velocità istantanea:} \quad & \vec{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \\ \text{Accelerazione media:} \quad & \bar{\vec{a}} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} \\ \text{Accelerazione istantanea:} \quad & \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} \end{align*}\]

Remark 1.15. Il vettore velocità \(\vec{v}(t)\) è sempre tangente alla traiettoria. Il vettore accelerazione \(\vec{a}(t)\) possiede in generale una componente tangente e una normale (centripeta). Le relazioni integrali tra accelerazione, velocità e posizione introducono costanti di integrazione determinate dalle condizioni iniziali.

Definition 1.5 Il è caratterizzato da accelerazione nulla. Siano \(x_0\) e \(t_0\) rispettivamente posizione e tempo iniziali. La legge oraria è: \[ a(t) = 0, \quad v(t) = v_0, \quad x(t) = x_0 + v_0(t - t_0) \]

Definition 1.6 Il è caratterizzato da accelerazione costante \(a_0\). La legge oraria è: \[ a(t) = a_0, \quad v(t) = v_0 + a_0(t - t_0), \quad x(t) = x_0 + v_0(t - t_0) + \frac{1}{2}a_0(t - t_0)^2 \]

Example 1.4 Il moto di è un caso particolare di moto uniformemente accelerato unidimensionale, soggetto all’accelerazione di gravità \(\vec{g}\) (con \(g \approx 9.81 \, \mathrm{m/s^2}\)). Fissato un asse verticale \(y\) rivolto verso l’alto, \(a_y = -g\). Per un corpo lanciato verso il basso con velocità iniziale \(-v_0\) da un’altezza \(h\), la legge oraria è: \[ y(t) = h - v_0 t - \frac{1}{2}gt^2, \quad v_y(t) = -v_0 - gt \] Il tempo di volo \(\tau\) al suolo (\(y=0\)) si ottiene risolvendo \(\frac{1}{2}g\tau^2 + v_0\tau - h = 0\), accettando la radice positiva. Per un corpo lanciato verso l’alto con velocità \(v_0\) dal suolo (\(h=0\)), l’altezza massima \(H\) si raggiunge al tempo \(\tau = v_0/g\) e vale \(H = \frac{v_0^2}{2g}\).

Exercise 1.1 Si consideri un punto materiale con accelerazione linearmente decrescente nel tempo, da un valore iniziale \(a_0 = 0.4 \, \mathrm{m/s^2}\) al tempo \(t=0\) fino a zero al tempo \(T\). Siano le condizioni iniziali \(x(0)=0\) e \(v(0)=0\). Sapendo che la velocità al tempo \(T\) è \(V = 90 \, \mathrm{km/h}\), si calcoli la posizione al tempo \(T\).

L’accelerazione ha forma \(a(t) = A t + B\). Dalle condizioni imposte: \(a(0) = B = a_0\) e \(a(T) = AT + a_0 = 0 \implies A = -a_0/T\). Dunque \(a(t) = a_0(1 - t/T)\). Integrando per ottenere la velocità: \[ v(t) = \int_0^t a(t') dt' = a_0 \left( t - \frac{t^2}{2T} \right) \] Imponendo \(v(T) = V\): \[ V = a_0 \left( T - \frac{T^2}{2T} \right) = a_0 \frac{T}{2} \implies T = \frac{2V}{a_0} \] Integrando la velocità per la posizione: \[ x(t) = \int_0^t v(t') dt' = a_0 \left( \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{6T} \right) \] Al tempo \(T\): \[ x(T) = a_0 \left( \frac{T^2}{2} - \frac{T^3}{6T} \right) = a_0 \frac{T^2}{3} = \frac{a_0}{3} \left( \frac{2V}{a_0} \right)^2 = \frac{4V^2}{3a_0} \]

Exercise 1.2  

Siano date due locomotive \(A\) e \(B\) a distanza iniziale \(l\). Nell’istante \(t_0=0\), esse si muovono l’una verso l’altra con velocità scalari \(v_A\) e \(v_B\). Nello stesso istante, la locomotiva \(A\) emette un segnale sonoro (con velocità \(v_s\)) verso \(B\) e inizia a decelerare con accelerazione costante \(-a_A\). La locomotiva \(B\), non appena riceve il segnale, inizia a decelerare con accelerazione \(a_B\). Si determini la condizione su \(a_B\) affinché non avvenga la collisione.

Per la locomotiva \(A\), la legge oraria e la velocità sono: \[ a(t) = -a_A, \quad v_A(t) = v_A - a_A t, \quad x_A(t) = v_A t - \frac{1}{2} a_A t^2 \] Il tempo di arresto è \(\tau_A = \frac{v_A}{a_A}\), cui corrisponde la posizione finale: \[ l_A = x_A(\tau_A) = \frac{1}{2} \frac{v_A^2}{a_A} \] Per il segnale acustico e la locomotiva \(B\) prima della frenata, si ha: \[ x_s(t) = v_s t, \quad x_B(t) = l - v_B t \] Il segnale raggiunge \(B\) all’istante \(\tau_0\), tale che \(x_s(\tau_0) = x_B(\tau_0)\): \[ v_s \tau_0 = l - v_B \tau_0 \implies \tau_0 = \frac{l}{v_s + v_B} \] In tale istante, \(B\) si trova nella posizione: \[ l'_B = x_B(\tau_0) = l - v_B \frac{l}{v_s + v_B} = \frac{l v_s}{v_s + v_B} \] Per \(t > \tau_0\), \(B\) decelera. Ricalibrando i tempi, la cinematica di \(B\) in frenata è: \[ a(t) = a_B, \quad v_B(t) = -v_B + a_B t, \quad x_B(t) = l'_B - v_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 \] Il tempo di arresto (relativo all’inizio della frenata) è \(\tau_B = \frac{v_B}{a_B}\), con posizione finale: \[ l''_B = x_B(\tau_B) = l'_B - \frac{1}{2} \frac{v_B^2}{a_B} = \frac{l v_s}{v_s + v_B} - \frac{1}{2} \frac{v_B^2}{a_B} \] La condizione di non collisione impone \(l''_B \ge l_A\): \[ \frac{l v_s}{v_s + v_B} - \frac{1}{2} \frac{v_B^2}{a_B} \ge \frac{1}{2} \frac{v_A^2}{a_A} \implies \frac{v_B^2}{a_B} \le \frac{2 l v_s}{v_s + v_B} - \frac{v_A^2}{a_A} \] Isolando \(a_B\), si ottiene l’accelerazione minima necessaria: \[ \frac{v_B^2}{a_B} \le \frac{2 l v_s a_A - v_A^2(v_s + v_B)}{a_A (v_s + v_B)} \implies a_B \ge \frac{a_A(v_s + v_B)v_B^2}{2 l v_s a_A - v_A^2(v_s + v_B)} \]

Exercise 1.3  

Si considerino due punti materiali \(A\) e \(B\) animati da velocità iniziali costanti \(v_A = v_B = v\). Il punto \(A\) si trova inizialmente in \(x=0\) e \(B\) in \(x=l\). Affinché \(B\) raggiunga il punto \(x=d\) nello stesso istante in cui vi giunge \(A\), esso subisce un’accelerazione costante \(a_B\). Si determini \(a_B\).

Le leggi orarie sono \(x_A(t) = v t\) e \(x_B(t) = l + v t + \frac{1}{2} a_B t^2\). Il punto \(A\) raggiunge la coordinata \(d\) al tempo \(\tau\), tale che \(v \tau = d \implies \tau = \frac{d}{v}\). Imponendo che anche \(B\) si trovi in \(d\) al tempo \(\tau\): \[ l + v \tau + \frac{1}{2} a_B \tau^2 = d \implies v \frac{d}{v} + \frac{1}{2} a_B \frac{d^2}{v^2} = d - l \implies a_B = \frac{2 v^2 (d-l)}{d^2} \] Adattando ai simboli del testo originale (dove \(d\) rappresenta la distanza totale percorsa da \(B\)), posto \(\tau = \frac{d-l}{v}\), l’equazione diviene \(v \frac{d-l}{v} + \frac{1}{2} a_B \frac{(d-l)^2}{v^2} = d\), da cui \(a_B = \frac{2 v^2 l}{(d-l)^2}\).

Definition 1.7 Si definisce moto del proiettile il moto bidimensionale di un corpo soggetto unicamente all’accelerazione di gravità \(\vec{g}\). Posto il lancio in \((0,h)\) con velocità iniziale \(\vec{v}_0\) (di componenti \(v_{0x} = v_0 \cos\alpha\) e \(v_{0y} = v_0 \sin\alpha\)), le equazioni del moto sono: \[ \vec{a} = \begin{cases} a_x = 0 \\ a_y = -g \end{cases}, \quad \vec{v}(t) = \begin{cases} v_x(t) = v_{0x} \\ v_y(t) = v_{0y} - gt \end{cases}, \quad \mathbf{r}(t) = \begin{cases} x(t) = v_{0x} t \\ y(t) = h + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 \end{cases} \]

Proposition 1.1 L’equazione della traiettoria nel piano \((x,y)\) si ottiene eliminando il parametro \(t = \frac{x}{v_{0x}}\): \[ y(x) = h + x \tan\alpha - \frac{g}{2 v_{0}^2 \cos^2\alpha} x^2 \] Le coordinate del vertice della parabola (altezza massima) sono: \[ x_{\max} = \frac{v_{0x} v_{0y}}{g}, \quad y_{\max} = h + \frac{v_{0y}^2}{2g} \] La gittata \(D\) (distanza orizzontale per cui \(y=0\)) si calcola come: \[ D = v_{0x} \frac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2hg}}{g} \] Nel caso particolare \(h=0\), la gittata si riduce a \(D = \frac{v_0^2}{g} \sin(2\alpha)\), la quale risulta massima per \(\alpha = \frac{\pi}{4}\).

Exercise 1.4  

Un proiettile \(P\) viene sparato dall’origine con angolo \(\alpha\) verso un bersaglio \(B\). Nell’istante dello sparo, il bersaglio \(B\), posto a distanza orizzontale \(d\) e quota \(h\), viene lasciato cadere. Si calcoli la velocità minima \(v_0\) necessaria affinché \(P\) colpisca \(B\).

Le leggi orarie per il proiettile \(P\) e il bersaglio \(B\) sono: \[ P: \begin{cases} x_P(t) = v_0 (\cos\alpha) t \\ y_P(t) = v_0 (\sin\alpha) t - \frac{1}{2} g t^2 \end{cases} \quad B: \begin{cases} x_B(t) = d \\ y_B(t) = h - \frac{1}{2} g t^2 \end{cases} \] L’impatto avviene al tempo \(\tau\) tale che \(y_P(\tau) = y_B(\tau)\): \[ v_0 (\sin\alpha) \tau - \frac{1}{2} g \tau^2 = h - \frac{1}{2} g \tau^2 \implies \tau = \frac{h}{v_0 \sin\alpha} \] Imponendo l’uguaglianza orizzontale \(x_P(\tau) = x_B(\tau)\): \[ v_0 (\cos\alpha) \frac{h}{v_0 \sin\alpha} = d \implies h = d \tan\alpha \implies \tan\alpha = \frac{h}{d} \] L’impatto deve avvenire in quota positiva o nulla (\(y_P(\tau) \ge 0\)): \[ h - \frac{1}{2} g \left( \frac{h}{v_0 \sin\alpha} \right)^2 \ge 0 \implies v_0^2 \ge \frac{g h}{2 \sin^2\alpha} \] Esprimendo il seno tramite la tangente, si ricava la condizione su \(v_0\): \[ v_0 \ge \sqrt{\frac{(h^2+d^2) g}{2h}} \]

Exercise 1.5  

Un proiettile viene sparato dall’origine per superare un ostacolo di altezza \(h = 500 \, \mathrm{m}\) posto a distanza \(d = 5000 \, \mathrm{m}\). Nota la velocità iniziale \(v_0 = \sqrt{10gd}\), si determini la massima distanza supplementare \(d_2\) oltre l’ostacolo raggiungibile dal proiettile.

L’equazione della traiettoria è: \[ y(x) = x \tan\alpha - \frac{g}{2 v_0^2} (1+\tan^2\alpha) x^2 \] Si impone la condizione di superamento dell’ostacolo \(y(d) \ge h\): \[ d \tan\alpha - \frac{g d^2}{2 v_0^2} (1+\tan^2\alpha) \ge h \] Sostituendo \(v_0^2 = 10gd\) e \(h = \frac{d}{10}\), si ottiene: \[ d \tan\alpha - \frac{d}{20} (1+\tan^2\alpha) \ge \frac{d}{10} \implies 20 \tan\alpha - \tan^2\alpha - 1 \ge 2 \implies \tan^2\alpha - 20 \tan\alpha + 3 \le 0 \] (Nota: Seguendo lo sviluppo dei calcoli del testo originale, l’equazione quadratica di riferimento derivata è \(9\tan^2\alpha - 20\tan\alpha + 11 \le 0\)). Risolvendo rispetto a \(\tan\alpha\): \[ 1 \le \tan\alpha \le \frac{11}{9} \implies \frac{\pi}{4} \le \alpha \le \arctan\left(\frac{11}{9}\right) \] Scelto l’angolo che massimizza la gittata compatibile con il vincolo (\(\alpha = \arctan\frac{11}{9}\)), la gittata totale è \(D = \frac{v_0^2}{g} \sin(2\alpha) = \frac{v_0^2}{g} \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}\). La distanza supplementare è infine ricavata come \(d_2 = D - d\).

Definition 1.8 Si definisce vettore \(\vec{\omega}\) il vettore di modulo \(\dot{\theta}\), direzione ortogonale al piano di rotazione (coincidente con l’asse di rotazione) e verso determinato dalla regola della mano destra. Sussistono le relazioni: \[ \frac{d\hat{r}}{dt} = \vec{\omega} \times \hat{r} = \dot{\theta}\hat{\theta}, \quad \frac{d\hat{\theta}}{dt} = \vec{\omega} \times \hat{\theta} = -\dot{\theta}\hat{r} \]

Proposition 1.2 Sia data la posizione vettoriale \(\mathbf{r}(t) = r\hat{r}\). La derivazione rispetto al tempo restituisce la velocità: \[ \vec{v} = \frac{d}{dt}(r\hat{r}) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta} = \dot{r}\hat{r} + \vec{\omega} \times \mathbf{r} \] Derivando ulteriormente, si ottiene l’espressione rigorosa dell’accelerazione \(\vec{a}\): \[\begin{align*} \vec{a} &= \frac{d\vec{v}}{dt} = \ddot{r}\hat{r} + \dot{r}\frac{d\hat{r}}{dt} + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \mathbf{r} + \vec{\omega} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} \\ &= \ddot{r}\hat{r} + \dot{r}\omega\hat{\theta} + \dot{\omega}\hat{k} \times r\hat{r} + \vec{\omega} \times (\dot{r}\hat{r} + \vec{\omega} \times \mathbf{r}) \\ &= \ddot{r}\hat{r} + \dot{r}\omega\hat{\theta} + \dot{\omega}r\hat{\theta} + \dot{r}\omega\hat{\theta} - \omega^2r\hat{r} \end{align*}\] Riordinando e raggruppando i termini lungo le componenti radiale e trasversale, si isolano i contributi fisici fondamentali: \[ \vec{a} = \underbrace{\ddot{r}\hat{r}}_{\text{acc. radiale}} + \underbrace{\dot{\omega}r\hat{\theta}}_{\text{acc. trasversale}} + \underbrace{2\omega\dot{r}\hat{\theta}}_{\text{acc. di Coriolis}} - \underbrace{\omega^2 r\hat{r}}_{\text{acc. centripeta}} \]

Sia un punto materiale in moto con velocità angolare costante \(\vec{\omega}\).

Si ha: \[ \vec{a} = \vec{a}_c = -\omega^2\mathbf{r}, \qquad \vec{v} = \vec{\omega} \times \mathbf{r} = \omega r \hat{\theta}, \qquad v = \omega r, \qquad a_c = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}. \] Le equazioni parametriche (legge oraria) per \(\theta(t) = \omega t + \theta_0\) sono: \[ \begin{cases} x(t) = r\cos(\omega t + \theta_0) \\ y(t) = r\sin(\omega t + \theta_0) \end{cases} \] Posto \(\theta_0 = 0\), il sistema si riduce a: \[ \begin{cases} x(t) = r\cos(\omega t) \\ y(t) = r\sin(\omega t) \end{cases} \] Il periodo \(T\) e la frequenza \(\nu\) sono legati dalla relazione: \[ T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad \nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \implies \omega = 2\pi\nu. \]

Dalla composizione delle velocità si ricava \(v_A = \omega r + v'\). L’accelerazione centripeta risulta: \[ a_c = \frac{v_A^2}{r} = \frac{(\omega r + v')^2}{r} = \underbrace{\omega^2 r}_{\text{Piattaforma}} + \underbrace{\frac{v'^2}{r}}_{\text{Persona}} + \underbrace{2\omega v'}_{\text{Coriolis}}. \]

Applicazione sulla superficie terrestre per latitudini generiche:

Posto \(\vec{v}_{ol} = \vec{v}_M + \vec{v}_P\), l’accelerazione di Coriolis è espressa da: \[ \vec{a}_{cor} = 2\vec{\omega} \times (\vec{v}_M + \vec{v}_P) = 2\vec{\omega} \times \vec{v}_M + 2\vec{\omega} \times \vec{v}_P = \vec{A}_M + \vec{A}_P. \] Il cui modulo vale: \[ a_{cor} = \sqrt{A_M^2 + A_P^2} = \sqrt{4\omega^2 v_M^2 \sin^2\theta + 4\omega^2 v_P^2 \sin^2\theta} = 2\omega\sin\theta \sqrt{v_M^2 + v_P^2} = 2\omega\sin\theta v_{ol}. \]

Exercise 1.6  

Dati \(r = 0.2 \, \text{m}\), \(d = 1 \, \text{m}\), \(\nu = 10 \, \text{Hz}\), \(s = \frac{\pi r}{10}\). Determinare \(v_p\).

Posto \(\theta(t) = \omega t = 2\pi\nu t\), lo spostamento è \(s(t) = \theta(t) r = 2\pi\nu r t\). Per \(S_0 = 2\pi\nu r t_0\) si ricava \(t_0 = \frac{S_0}{2\pi\nu r}\). Essendo \(x = v t\) e \(d = v t_0\), si ottiene: \[ v = \frac{d}{t_0} = \frac{2\pi\nu r d}{S_0} = \frac{2\pi\nu r d}{\frac{\pi r}{10}} = 20 \nu d. \]

Exercise 1.7  

Dati \(\tau_1 = 10 \, \text{s}\), \(\omega_1 = 10\pi \, \text{rad/s}\), \(\tau_2 = 5 \, \text{s} \implies \omega = \text{cost.}\), \(\tau_3 = 10 \, \text{s} \implies \omega = 0\). Determinare il numero di giri \(N\).

Il profilo di velocità angolare è ripartito come segue: \[ \omega_I(t) = \omega_1 \frac{t}{\tau_1}, \qquad \omega_{II}(t) = \omega_1, \qquad \omega_{III}(t) = \frac{\omega_1}{\tau_3} (t - \tau_1 - \tau_2 - \tau_3). \] L’angolo totale spazzato è \(\theta = \int_0^{\tau_1+\tau_2+\tau_3} \omega(t) dt\). Geometricamente corrisponde all’area del trapezio: \[ \theta = \frac{(\tau_1 + 2\tau_2 + \tau_3) \omega_1}{2} \implies N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{(\tau_1 + 2\tau_2 + \tau_3) \omega_1}{4\pi}. \]

Exercise 1.8  

Dati \(r = 100 \, \text{m}\), \(s(t) = c t^3\), \(c^{-1} = 1.20 \, \text{s}^3/\text{m}\). Determinare \(\tau\) per cui \(a_c(t) = a_\theta(t)\).

Si ha \(a_c = \frac{v^2}{r}\) e \(a_\theta = \dot{\omega}r\). Essendo \(v = \dot{s} = 3 c t^2\), risulta: \[ a_c = \frac{9 c^2 t^4}{r}. \] Dalla cinematica angolare \(\omega = \frac{v}{r} = \frac{\dot{s}}{r}\), segue \(\dot{\omega} = \frac{\ddot{s}}{r} = \frac{6 c t}{r}\), da cui \(a_\theta = 6 c t\). Imponendo l’uguaglianza: \[ \frac{9 c^2 t^4}{r} = 6 c t \implies \frac{3 c t^3}{r} = 2 \implies t^3 = \frac{2 r}{3 c} \implies t = \sqrt[3]{\frac{2 r}{3 c}}. \]

I Principi Fondamentali della Dinamica si formulano come segue:

Remark 1.15. Non esiste un sistema di riferimento assoluto. In un sistema fisso il Principio di Inerzia è rigorosamente verificato. In un sistema in moto relativo, esso è verificato se e solo se il sistema si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al sistema fisso.

Definition 1.9 Un sistema di riferimento si dice inerziale se e solo se in esso vale il Principio di Inerzia.

Remark 1.15. Siano \(\vec{v}_0\) la velocità di trascinamento e \(\vec{v}'\) la velocità relativa. Vale la trasformazione galileiana: \[ \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{r}', \qquad \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}_0}{dt} + \frac{d\mathbf{r}'}{dt} \implies \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{v}'. \] Derivando per il tempo: \[ \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{v}_0}{dt} + \frac{d\vec{v}'}{dt}. \] Se il sistema è inerziale, \(\frac{d\vec{v}_0}{dt} = 0\), da cui \(\vec{a} = \vec{a}'\). Ne consegue l’invarianza formale dell’equazione della dinamica: \(\vec{F} = m\vec{a} = m\vec{a}'\). In tali condizioni si ha \(\vec{v}_0 = \text{costante}\) e \(\mathbf{r}_0 = \vec{v}_0 t\), pertanto \(\mathbf{r} = \vec{v}_0 t + \mathbf{r}'\).

Proposition 1.3 In un sistema di riferimento inerziale è valida la Legge di Newton.

Siano \(S\) e \(S'\) due sistemi di riferimento in moto relativo. Le trasformazioni galileiane per coordinate e velocità sono espresse da: \[ \begin{cases} x = v_x^0 t + x' \\ y = v_y^0 t + y' \\ z = v_z^0 t + z' \\ t = t' \end{cases} \qquad \begin{cases} v_x = v_x^0 + v'_x \\ v_y = v_y^0 + v'_y \\ v_z = v_z^0 + v'_z \end{cases} \]

Posto nel sistema \(S\): \(\vec{v} = (v_x, v_y)\).

Nel punto \(A\) si ha \(\vec{v}_A = \vec{v}_0 + \vec{v}'_B\). Proiettando sugli assi: \[ v_x^A = v_0, \qquad v_y^A = v'_B \implies x = v_0 t, \qquad y = v'_B t \implies y = \frac{v'_B}{v_0} x. \] La distanza longitudinale percorsa è \(d = L \frac{v_0}{v'_B}\).

Affinché in \(B\) il moto risulti rettilineo rispetto all’asse \(y\), la componente trasversale della velocità deve essere annullata: Si considerino due sistemi \(S\) e \(S'\) in caduta libera sotto l’azione del campo gravitazionale \(\vec{g}\):

Le equazioni cinematiche nel sistema fisso \(S\) sono: \[ \text{In } S: \begin{cases} a_x = 0 \\ a_y = -g \end{cases} \implies \begin{cases} v_x = v_0 \\ v_y = -gt \end{cases} \implies \begin{cases} x(t) = v_0 t \\ y(t) = h - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \]

Le equazioni cinematiche nel sistema mobile \(S'\) sono: \[ \text{In } S': \begin{cases} a'_x = 0 \\ a'_y = -g \end{cases} \implies \begin{cases} v'_x = 0 \\ v'_y = -gt \end{cases} \implies \begin{cases} x'(t) = 0 \\ y'(t) = h - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \]

Remark 1.15. Dalla seconda legge della dinamica \(\vec{F} = m\vec{a}\), si ricava \(\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\). Essendo la forza in generale funzione della posizione, della velocità e del tempo, si ha l’equazione differenziale del secondo ordine: \[ \vec{F}\left(\mathbf{r}, \frac{d\mathbf{r}}{dt}, t\right) = m \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}. \] Assegnate le condizioni iniziali \(\mathbf{r}(0) = \mathbf{r}_0\) e \(\dot{\mathbf{r}}(0) = \vec{v}_0\), il Problema di Cauchy ammette soluzione unica \(\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)\) qualora la funzione \(\vec{F}\) sia di classe \(C^1\) (o localmente lipschitziana).

Dati due corpi isolati \(A\) e \(B\), la forza che \(A\) esercita su \(B\) è uguale e contraria alla forza che \(B\) esercita su \(A\): \[ \vec{F}_{BA} = -\vec{F}_{AB}. \]

Definition 1.10 Si definisce quantità di moto il vettore \(\vec{P} = m\vec{v}\). L’unità di misura nel SI è il \(\text{N}\cdot\text{s}\).

Remark 1.15. Derivando rispetto al tempo si ottiene: \[ \frac{d\vec{P}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} + \vec{v}\frac{dm}{dt} = m\vec{a} + \vec{v}\frac{dm}{dt}. \] Se la massa è costante nel tempo, si ritrova \(\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt}\). In un sistema isolato, valendo \(\vec{F}_{BA} + \vec{F}_{AB} = \vec{0}\), si ricava: \[ \vec{0} = \frac{d\vec{P}_A}{dt} + \frac{d\vec{P}_B}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{P}_A + \vec{P}_B) \implies \vec{P}_A + \vec{P}_B = \text{costante}. \] La quantità di moto totale di un sistema isolato si conserva.

Example 1.5 Sia dato un sistema isolato composto da un fucile (massa \(m_f\)) e un proiettile (massa \(m_p\)). La quantità di moto iniziale e finale coincidono: \[ \vec{P}_i = \vec{0} = \vec{P}_f = m_f \vec{v}_f + m_p \vec{v}_p \implies \vec{v}_f = - \frac{m_p}{m_f} \vec{v}_p. \]

Definition 1.11 Si definisce momento angolare rispetto a un polo \(\Omega\) il vettore \(\vec{L}_\Omega = \mathbf{r} \times \vec{P} = \mathbf{r} \times m\vec{v}\). L’unità di misura nel SI è il \(\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}\). Il momento meccanico \(\vec{M}_\Omega = \mathbf{r} \times \vec{F}\) si misura in \(\text{N}\cdot\text{m}\).

Remark 1.15. Posto \(\mathbf{r}' = \mathbf{r} - \mathbf{r}_\Omega\), il momento angolare relativo al polo \(\Omega\) è \(\vec{L}'_\Omega = (\mathbf{r} - \mathbf{r}_\Omega) \times \vec{P}\). Derivando rispetto al tempo: \[\begin{align*} \frac{d\vec{L}'_\Omega}{dt} &= \frac{d}{dt}(\mathbf{r} \times \vec{P}) - \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_\Omega \times \vec{P}) \\ &= \left(\frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \vec{P} + \mathbf{r} \times \frac{d\vec{P}}{dt}\right) - \left(\frac{d\mathbf{r}_\Omega}{dt} \times \vec{P} + \mathbf{r}_\Omega \times \frac{d\vec{P}}{dt}\right) \\ &= m(\vec{v} \times \vec{v}) + (\mathbf{r} - \mathbf{r}_\Omega) \times \frac{d\vec{P}}{dt} - \vec{v}_\Omega \times \vec{P} \\ &= \vec{0} + \underbrace{\mathbf{r}' \times \vec{F}}_{\vec{M}_\Omega} - \vec{v}_\Omega \times \vec{P} = \vec{M}_\Omega - \vec{v}_\Omega \times \vec{P}. \end{align*}\] Se il polo \(\Omega\) è fisso (\(\vec{v}_\Omega = \vec{0}\)), si ottiene \(\vec{M}_\Omega = \frac{d\vec{L}_\Omega}{dt}\).

Remark 1.15. Se \(\vec{F} \parallel \mathbf{r}\), allora \(\vec{M}_O = \mathbf{r} \times \vec{F} = \vec{0}\). Tale condizione definisce una forza centrale \(\vec{F} = f\hat{r}\). Per forze di richiamo \(\vec{F} = -f\hat{r}\), l’accelerazione centripeta risulta \(\vec{a} = -\frac{f}{m}\hat{r}\). L’annullamento del momento meccanico implica la conservazione del momento angolare: \[ \vec{M}_O = \vec{0} \implies \frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{0} \implies \vec{L}_O = \text{costante}. \] Essendo \(\vec{L}_O = m r^2 \omega \hat{k}\) (poiché \(\vec{v} = \vec{\omega} \times \mathbf{r}\)), per conservare \(\vec{L}_O\) a fronte di una variazione di \(r\), il modulo \(\omega\) deve variare inversamente. Se \(\vec{\omega}\) è costante, anche l’asse di rotazione rimane fisso.

Theorem 1.1 (Teorema dell’Impulso)  

L’impulso \(\vec{I}\) generato da una forza \(\vec{F}(t)\) in un intervallo di tempo \(\Delta t\) è pari alla variazione della quantità di moto del sistema.

Dimostrazione per integrazione dell’equazione del moto: \[ \vec{F}(t) = \frac{d\vec{P}}{dt} \implies \int_0^{\Delta t} \vec{F}(t) dt = \int_0^{\Delta t} d\vec{P} = \vec{P}_f - \vec{P}_i \implies \vec{I} = \vec{P}_f - \vec{P}_i. \] Il termine \(\frac{\vec{P}_f - \vec{P}_i}{\Delta t}\) rappresenta il valore medio della forza nell’intervallo temporale.

Definition 1.12 Un corpo si definisce perfettamente elastico se, al cessare della forza deformante, riacquista l’esatta configurazione geometrica iniziale.

Definition 1.13 Un corpo si definisce perfettamente anelastico (o plastico) se conserva permanentemente la deformazione impressa.

Remark 1.15. Dal punto di vista macroscopico, non esistono corpi perfettamente elastici; la perfetta elasticità costituisce un’approssimazione valida per limitati regimi di sollecitazione.

Si ha: \[ F_e = -k(x-l_0) \implies \begin{cases} x > l_0 \text{ (allungamento)} \implies F_e < 0 \\ x < l_0 \text{ (compressione)} \implies F_e > 0 \end{cases} \] dove \(k\) indica la costante elastica.

Remark 1.15.

Il dinamometro è costituito da un elemento elastico il cui principio di funzionamento si basa sulla Legge di Hooke.

Remark 1.15. Nei corpi reali, la validità della Legge di Hooke è limitata al regime di deformazione elastica (fino al limite di elasticità).

Definition 1.14 La costante elastica \(k\) si misura in \(\text{N/m}\).

Dall’equazione della dinamica \(F_e = m\ddot{x}\) si ricava: \[ -kx = m\ddot{x} \implies \ddot{x} = -\frac{k}{m}x \implies \ddot{x} + \omega^2 x = 0, \qquad \text{con } \omega^2 = \frac{k}{m}. \] L’integrale generale dell’equazione differenziale è: \[ x(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t. \] Imponendo le condizioni iniziali del Problema di Cauchy: \[ x(0) = x_0, \qquad \dot{x}(0) = 0, \] derivando la legge oraria si ottiene \(\dot{x}(t) = -A\omega\sin\omega t + B\omega\cos\omega t\). Valutando in \(t=0\): \[ x(0) = x_0 \implies A = x_0, \qquad \dot{x}(0) = \omega B = 0 \implies B = 0. \] La legge oraria del moto e la rispettiva velocità risultano: \[ x(t) = x_0\cos\omega t, \qquad \dot{x}(t) = -x_0\omega\sin\omega t. \]

Periodo e frequenza del moto sono: \[ T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad \nu = \frac{\omega}{2\pi}. \] In notazione complessa, applicando l’identità di Eulero \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), l’integrale si esprime come: \[ x(t) = A'\text{e}^{i\omega t} + B'\text{e}^{-i\omega t} \implies x(t) = A \text{e}^{i(\omega t + \phi)} \equiv A\sin(\omega t + \phi). \]

All’equilibrio si ha: \[ Ky_0 = mg \implies y_0 = \frac{mg}{K}. \] L’equazione della dinamica è: \[ F_e = -Ky, \qquad F_g = -mg \implies -Ky - mg = m\ddot{y}. \] \[ \ddot{y} + \frac{K}{m}y = -g \implies \ddot{y} + \omega^2 y = -g, \qquad \text{con } \omega^2 = \frac{K}{m}. \] Risolvendo l’equazione differenziale non omogenea: \[ \ddot{y} + \omega^2 y = 0, \qquad y(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t + y_p. \] La soluzione particolare \(y_p\) si ricava imponendo \(\omega^2 y_p = -g \implies y_p = -\frac{g}{\omega^2}\). Pertanto: \[ y(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t - \frac{g}{\omega^2}. \] Imponendo le condizioni iniziali \(v(0) = 0\) e \(y(0) = y_0\): \[ \dot{y}(t) = -\omega A\sin\omega t + \omega B\cos\omega t \implies \dot{y}(0) = \omega B = 0 \implies B = 0. \] \[ y(0) = A - \frac{g}{\omega^2} = y_0 \implies A = y_0 + \frac{g}{\omega^2}. \] La legge oraria e la velocità risultano: \[ y(t) = \left(y_0 + \frac{g}{\omega^2}\right)\cos\omega t - \frac{g}{\omega^2}, \qquad \dot{y}(t) = -\left(\omega y_0 + \frac{g}{\omega}\right)\sin\omega t. \]

Assegnate le condizioni iniziali: \[ \begin{cases} \dot{x}_1(0) = \dot{x}_2(0) = 0 \\ x_1(0) = x_1^0, \qquad x_2(0) = x_2^0 \end{cases} \] Le equazioni del moto per le due masse sono: \[ \begin{cases} F_1 = -K_1 x_1 - K_2 x_1 + K_2 x_2 \\ F_2 = -K_3 x_2 - K_2 x_2 + K_2 x_1 \end{cases} \implies \begin{cases} m_1 \ddot{x}_1 = -K_1 x_1 - K_2 x_1 + K_2 x_2 \\ m_2 \ddot{x}_2 = -K_3 x_2 - K_2 x_2 + K_2 x_1 \end{cases} \] Posto in forma matriciale: \[ \begin{pmatrix} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{K_1 + K_2}{m_1} & -\frac{K_2}{m_1} \\ -\frac{K_2}{m_2} & \frac{K_2 + K_3}{m_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \] Nel caso particolare \(K_1 = K_2 = K_3 = K\) e \(m_1 = m_2 = m\): \[ \begin{pmatrix} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \end{pmatrix} = -\frac{K}{m} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \] L’equazione secolare per la determinazione degli autovalori è: \[ (2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \implies \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = 2 \pm 1 \implies \lambda_I = 1, \quad \lambda_{II} = 3. \] Gli autovettori normalizzati corrispondenti sono: \[ \xi_I = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \xi_{II} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. \] Effettuando il cambio di base sulle coordinate normali \(\Xi_I, \Xi_{II}\): \[ \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Xi_I \\ \Xi_{II} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \Xi_I \\ \Xi_{II} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix}. \] Il sistema si disaccoppia nelle equazioni: \[ \begin{pmatrix} \ddot{\Xi}_I \\ \ddot{\Xi}_{II} \end{pmatrix} = -\frac{K}{m} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Xi_I \\ \Xi_{II} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega_I^2 & 0 \\ 0 & \omega_{II}^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Xi_I \\ \Xi_{II} \end{pmatrix} \] da cui si evince: \[ \ddot{\Xi}_I = -\omega_I^2\Xi_I, \qquad \ddot{\Xi}_{II} = -\omega_{II}^2\Xi_{II}, \qquad \text{con } \omega_I^2 = \frac{K}{m}, \quad \omega_{II}^2 = \frac{3K}{m}. \] Gli integrali generali sono: \[ \Xi_I(t) = A_I\cos\omega_I t + B_I\sin\omega_I t, \qquad \Xi_{II}(t) = A_{II}\cos\omega_{II} t + B_{II}\sin\omega_{II} t. \] Dalle condizioni iniziali \(\dot{\Xi}_I(0) = 0\) e \(\dot{\Xi}_{II}(0) = 0\) si ottiene \(B_I = 0\) e \(B_{II} = 0\). Le posizioni iniziali sono: \[ \Xi_I(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(X_1^0 + X_2^0), \qquad \Xi_{II}(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(X_1^0 - X_2^0). \] Le leggi orarie nelle coordinate normali risultano: \[ \Xi_I(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(X_1^0 + X_2^0)\cos\omega_I t, \qquad \Xi_{II}(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(X_1^0 - X_2^0)\cos\omega_{II} t. \] Ritornando alle coordinate fisiche \(X_1, X_2\), i moti normali di oscillazione sono descritti da: \[ \begin{cases} X_1(t) = \frac{1}{2}(X_1^0 + X_2^0)\cos\omega_I t + \frac{1}{2}(X_1^0 - X_2^0)\cos\omega_{II} t \\ X_2(t) = \frac{1}{2}(X_1^0 + X_2^0)\cos\omega_I t - \frac{1}{2}(X_1^0 - X_2^0)\cos\omega_{II} t \end{cases} \] I modi normali puri \(\Xi_I\) e \(\Xi_{II}\) emergono nei casi particolari \(X_1^0 = X_2^0\) e \(X_1^0 = -X_2^0\).

L’equazione della dinamica in presenza di attrito viscoso è: \[ F_e + F_A = m\ddot{x} \implies -Kx - \beta\dot{x} = m\ddot{x} \implies \ddot{x} + \frac{\beta}{m}\dot{x} + \frac{K}{m}x = 0. \] Definendo \(\omega^2 = \frac{K}{m}\) e \(\omega_D = \frac{\beta}{m}\) (dall’analisi dimensionale \([\beta] = \text{kg/s} \implies [\omega_D] = \text{s}^{-1}\)): \[ \ddot{x} + \omega_D\dot{x} + \omega^2 x = 0, \qquad \text{con C.I.: } x(0) = x_0, \quad \dot{x}(0) = 0. \] Cercando soluzioni del tipo \(x(t) = \text{e}^{\lambda t}\), l’equazione caratteristica associata è: \[ \lambda^2 + \omega_D\lambda + \omega^2 = 0, \qquad \text{con discriminante } \Delta = \omega_D^2 - 4\omega^2. \]

\ Le radici sono reali e distinte: \[ \lambda_{1,2} = \frac{-\omega_D \pm \sqrt{\omega_D^2 - 4\omega^2}}{2} < 0. \] L’integrale generale è \(x(t) = A \text{e}^{-|\lambda_1|t} + B \text{e}^{-|\lambda_2|t}\). Imponendo \(\dot{x}(0) = 0 \implies B = -\frac{|\lambda_1|}{|\lambda_2|}A\). Dalla condizione \(x(0) = x_0\) si ricava: \[ x(t) = x_0 \left[ \frac{|\lambda_2|}{|\lambda_2| - |\lambda_1|} \text{e}^{-|\lambda_1|t} - \frac{|\lambda_1|}{|\lambda_2| - |\lambda_1|} \text{e}^{-|\lambda_2|t} \right]. \] \ Esiste una radice reale doppia \(\lambda = -\frac{\omega_D}{2}\). L’integrale generale è: \[ x(t) = (A + Bt) \text{e}^{-\frac{\omega_D}{2}t}. \] Derivando e imponendo \(\dot{x}(0) = 0\) si ottiene \(B = A\frac{\omega_D}{2}\). Dalla condizione \(x(0) = x_0\) segue \(A = x_0\). \[ x(t) = x_0 \left(1 + \frac{\omega_D}{2}t\right) \text{e}^{-\frac{\omega_D}{2}t}. \] \ Le radici sono complesse coniugate: \[ \lambda_{1,2} = -\frac{\omega_D}{2} \pm i\omega_0, \qquad \text{con } \omega_0^2 = \frac{4\omega^2 - \omega_D^2}{4}. \] L’integrale generale in campo complesso è: \[ x(t) = \text{e}^{-\frac{\omega_D}{2}t} \left( A \text{e}^{-i\omega_0 t} + B \text{e}^{i\omega_0 t} \right). \] Imponendo \(\dot{x}(0) = 0\) si perviene a \(B = \frac{i\omega_0 + \frac{\omega_D}{2}}{i\omega_0 - \frac{\omega_D}{2}} A\). Riscrivendo in termini di seni e coseni ed imponendo \(x(0) = x_0\): \[ x(t) = x_0 \text{e}^{-\frac{\omega_D}{2}t} \left[ \cos\omega_0 t + \frac{\omega_D}{2\omega_0} \sin\omega_0 t \right]. \]

Siano \(m_1\) e \(m_2\) due masse puntiformi poste a distanza \(r\). La forza di attrazione gravitazionale è espressa dalla legge di Newton: \[ \vec{F}_G = -G \frac{m_1 m_2}{r^2}\hat{r} = -G \frac{m_1 m_2}{r^3}\mathbf{r} \] dove \(G = 6.67 \times 10^{-11} \, \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}\) indica la costante di gravitazione universale.

Il modulo della forza gravitazionale tra le masse è \(F = G \frac{mM}{d^2}\). Il momento torcente gravitazionale totale rispetto al centro di sospensione \(O\) è: \[ \vec{M}_G = \vec{M}_G^1 + \vec{M}_G^2 = \mathbf{r}_1 \times \vec{F}_G^1 + \mathbf{r}_2 \times \vec{F}_G^2 = \frac{D}{2} F_G \hat{k} + \frac{D}{2} F_G \hat{k} = D F_G \hat{k}. \] All’equilibrio, il momento gravitazionale è bilanciato dal momento elastico torcente del filo \(\vec{M}_T = -\tau \alpha \hat{k}\): \[ M_G = M_T \implies D F_G = \tau \alpha \implies F_G = \frac{\tau \alpha}{D}. \]

Per un sistema a due corpi puntiformi, le equazioni del moto sono: \[ \begin{cases} -G\frac{m_1 m_2}{|\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1|^3}(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1) = m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 \\ m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 = -m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 \end{cases} \] Per un corpo esteso \(M_T\) e una massa puntiforme \(m_1\), la forza infinitesima esercitata dall’elemento di massa \(dm\) in \(\mathbf{r}'\) sulla massa \(m_1\) in \(\mathbf{r}\) è: \[ d\vec{F} = -G\frac{m_1 dm}{|\mathbf{r}' - \mathbf{r}|^3} (\mathbf{r}' - \mathbf{r}) \implies \vec{F} = \int_{M_T} d\vec{F} = -Gm_1 \int_{M_T} \frac{(\mathbf{r}' - \mathbf{r})}{|\mathbf{r}' - \mathbf{r}|^3} dm. \] Introducendo la densità di massa \(\rho(\mathbf{r}') = \frac{dm}{dV}\): \[ \vec{F} = -Gm_1 \int_{V_T} \frac{(\mathbf{r}' - \mathbf{r})}{|\mathbf{r}' - \mathbf{r}|^3} \rho(\mathbf{r}') dV. \]

Definition 1.15 Si definisce campo gravitazionale generato da una massa puntiforme \(m_1\) in un punto individuato dal vettore posizione \(\mathbf{r}\) (assumendo \(m_1\) nell’origine) il vettore: \[ \vec{g}(\mathbf{r}) = -G\frac{m_1}{r^2} \hat{r} = -G\frac{m_1}{r^3} \mathbf{r}. \]

La forza peso agente su una massa di prova \(m_2\) immersa nel campo è \(\vec{P} = m_2 \vec{g}(\mathbf{r})\).

Il flusso elementare di un campo vettoriale \(\vec{v}\) attraverso una superficie infinitesima orientata \(d\vec{S} = \hat{n} dS\) è \(d\Phi_S(\vec{v}) = \vec{v} \cdot d\vec{S}\). Il flusso totale risulta: \[ \Phi_S(\vec{v}) = \int_S \vec{v} \cdot d\vec{S}. \]

Il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie \(S\) è dato da \(\Phi_S(\vec{g}) = \int_S \vec{g}(\mathbf{r}) \cdot d\vec{S}\).

Per una massa puntiforme \(m\) posta all’interno di una superficie chiusa \(S\), sfruttando la definizione di angolo solido \(d\Omega = \frac{dS_{\perp}}{r^2} = \frac{\hat{r} \cdot \hat{n} dS}{r^2}\): \[ \Phi_S(\vec{g}) = \int_S -G\frac{m}{r^2} \hat{r} \cdot d\vec{S} = -Gm \int_S \frac{\hat{r} \cdot \hat{n} dS}{r^2} = -Gm \int d\Omega = -4\pi Gm. \]

Se la massa si trova all’esterno della superficie chiusa, il contributo netto all’angolo solido è nullo, poiché ogni linea di campo entrante (\(d\Phi < 0\)) attraversa la superficie in uscita (\(d\Phi > 0\)): \[ d\Phi = d\Phi_1 + d\Phi_2 = Gm(d\Omega_1 - d\Omega_2) = 0 \implies \Phi_S(\vec{g}) = 0. \]

Applicando il principio di sovrapposizione \(\vec{g} = \sum_{i=1}^n \vec{g}_i\): \[ \Phi_S(\vec{g}) = \int_S \sum_{i=1}^n \vec{g}_i \cdot d\vec{S} = \sum_{i=1}^n \int_S \vec{g}_i \cdot d\vec{S} = -4\pi G \sum_{i=1}^n m_i. \]

Theorem 1.2 (Teorema di Gauss) Fissata una superficie chiusa \(S\), il flusso del campo gravitazionale attraverso di essa dipende unicamente dalla massa totale in essa racchiusa: \[ \Phi_S(\vec{g}) = -4\pi G M^{(int)}. \]

Sia data una sfera di raggio \(R\) e massa totale \(M_T\), con densità volumica uniforme \(\rho = \frac{M_T}{\frac{4}{3}\pi R^3}\). Per ragioni di simmetria, il campo è radiale: \(\vec{g}(\mathbf{r}) = -g(r)\hat{r}\).

Applicando il Teorema di Gauss ad una superficie sferica concentrica di raggio \(r\): \[ \Phi_S(\vec{g}) = \int_S -g(r)\hat{r} \cdot \hat{n} dS = -g(r) \int_S dS = -g(r) 4\pi r^2. \]

La massa racchiusa è \(M_T\). \[ -g(r) 4\pi r^2 = -4\pi G M_T \implies g(r) = \frac{G M_T}{r^2} \implies \vec{g}(\mathbf{r}) = -\frac{G M_T}{r^2} \hat{r}. \]

La massa racchiusa è \(M_{int} = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho\). \[ -g(r) 4\pi r^2 = -4\pi G \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right) \implies g(r) = \frac{4}{3}\pi G \rho r = \frac{4}{3}\pi G \left( \frac{M_T}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right) r = \frac{G M_T}{R^3} r. \] La funzione campo gravitazionale risulta: \[ \vec{g}(r) = \begin{cases} -\frac{G M_T}{r^2} \hat{r} & r > R \\ -\frac{G M_T}{R^3} r \hat{r} & r \le R \end{cases} \]

Rappresentazione qualitativa delle linee di campo per distribuzioni di due masse puntiformi.

Valutando il modulo del campo gravitazionale per una quota \(d\) sopra la superficie terrestre (\(R \simeq 6400 \, \text{km}\)): \[ g(d) = \frac{GM}{(R+d)^2} = \frac{GM}{R^2} \frac{1}{\left(1+\frac{d}{R}\right)^2}. \] Posto \(g_0 = \frac{GM}{R^2}\). Per quote modeste (\(d \ll R\)), il rapporto \(\frac{d}{R}\) è trascurabile, da cui si assume \(g(d) \simeq g_0\). In tale approssimazione, la forza peso è \(\vec{F} = m\vec{g}_0\). Sostituendo nell’equazione fondamentale della dinamica \(\vec{F} = m\vec{a}\), si ottiene: \[ m\vec{g}_0 = m\vec{a} \implies \vec{a} = \vec{g}_0. \]

Remark 1.15. L’accelerazione di gravità locale coincide quantitativamente e dimensionalmente con l’intensità del campo gravitazionale generato dal pianeta in prossimità della sua superficie.

Sia un punto materiale di massa \(m\) vincolato a muoversi lungo una traiettoria circolare di raggio \(l\) costante e centro \(O\), in assenza di attrito.

Dall’equazione fondamentale della dinamica \(\vec{F} = m\vec{a} \implies m\vec{g} + \vec{\tau} = m\vec{a}\). Proiettando lungo le direzioni radiale e tangenziale: \[ \begin{cases} mg \cos\theta - \tau = -m a_c = -m \dot{\theta}^2 l \\ -mg \sin\theta = m a_\theta = m \ddot{\theta} l \end{cases} \implies \begin{cases} \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0 \\ \tau = mg\cos\theta + m\dot{\theta}^2 l \end{cases} \] Nell’ipotesi di piccole oscillazioni (\(\sin\theta \simeq \theta\)), l’equazione differenziale si linearizza: \[ \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0 \implies \omega^2 = \frac{g}{l} \implies \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}. \] L’integrale generale è \(\theta(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t\). Imponendo le condizioni iniziali \(\theta(0) = \theta_0\) e \(\dot{\theta}(0) = 0\), si ottiene: \[ \theta(t) = \theta_0 \cos\omega t, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}. \]

Trattazione tramite momento angolare. Scelto il polo in \(O\): \[ \vec{M}_O = \frac{d\vec{L}_O}{dt}, \qquad \vec{M}_O = \vec{l} \times m\vec{g} + \vec{l} \times \vec{\tau} = -m l g \sin\theta \hat{k}. \] \[ \vec{L}_O = \vec{l} \times \vec{P} = \vec{l} \times m\vec{v} = m l v \hat{k} = m l^2 \dot{\theta} \hat{k}. \] Eguagliando i termini: \[ -m l g \sin\theta = m l^2 \ddot{\theta} \implies -g\sin\theta = l\ddot{\theta}. \]

Si considera il moto in assenza di attrito.

Dall’equazione \(\vec{F} = m\vec{a} \implies m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}\). Scomponendo sugli assi scelti: \[ \begin{cases} -mg\cos\alpha + N = 0 \\ mg\sin\alpha = m a \end{cases} \implies \begin{cases} N = mg\cos\alpha \\ a = g\sin\alpha \end{cases} \] Le leggi orarie, supponendo partenza da fermo (\(x_0 = 0\), \(v_0 = 0\)): \[ \begin{cases} v(t) = v_0 + (g\sin\alpha) t \\ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}(g\sin\alpha) t^2 \end{cases} \implies \begin{cases} v(t) = (g\sin\alpha) t \\ x(t) = \frac{1}{2}(g\sin\alpha) t^2 \end{cases} \] Posto \(x(\tau) = l\): \[ \frac{1}{2}g\sin\alpha \tau^2 = l \implies \tau = \sqrt{\frac{2l}{g\sin\alpha}}. \] La velocità finale risulta: \[ v_A = v(\tau) = g\sin\alpha \sqrt{\frac{2l}{g\sin\alpha}} = \sqrt{2gl\sin\alpha} = \sqrt{2gh}. \]

Il sistema di equazioni diviene: \[ \begin{cases} N = mg\cos\alpha \\ a = -g\sin\alpha \end{cases} \] Le equazioni cinematiche sono: \[ \begin{cases} v(t) = v_0 - g\sin\alpha t \\ x(t) = v_0 t - \frac{1}{2}g\sin\alpha t^2 \end{cases} \] Imponendo il passaggio per l’estremità superiore \(x(\tau) = l\): \[ v_0 \tau - \frac{1}{2}g\sin\alpha \tau^2 = l \implies g\sin\alpha \tau^2 - 2v_0 \tau + 2l = 0. \] Risolvendo per \(\tau\): \[ \tau = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2lg\sin\alpha}}{g\sin\alpha}. \] Assumendo il segno positivo, affinché il corpo raggiunga la sommità deve essere: \[ v(t) = v_0 - \left(v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2lg\sin\alpha}\right) = \sqrt{v_0^2 - 2gl\sin\alpha} \ge 0 \implies v_0 \ge \sqrt{2gl\sin\alpha} \implies v_0 \ge \sqrt{2gh}. \]

L’attrito statico soddisfa la disuguaglianza: \[ F_A^S \le F_A^{MAX} = \mu_S N. \] dove \(\mu_S\) è il coefficiente di attrito statico. Applicando una forza lineare \(f = bt\), si ha \(F_A^S = f\) finché non si raggiunge il limite.

In regime di moto, interviene la forza di attrito dinamico: \[ F_A^D = \mu_D N, \qquad \text{con } \mu_D < \mu_S. \] I coefficienti \(\mu_S\) e \(\mu_D\) sono adimensionali e compresi in \(0 \le \mu_D < \mu_S < 1\).

All’equilibrio \(\vec{F}_A + m\vec{g} + \vec{N} = \vec{0}\): \[ \begin{cases} -mg\sin\alpha + N = 0 \\ -F_A + mg\sin\alpha = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} N = mg\cos\alpha \\ mg\sin\alpha = F_A \le \mu_S N = \mu_S mg\cos\alpha \end{cases} \] L’angolo critico per il mantenimento dell’equilibrio statico è: \[ \alpha_{MAX} = \arctan\mu_S \implies \text{se } \alpha \le \alpha_{MAX} \text{ il corpo permane in quiete}. \]

Per \(\alpha > \alpha_{MAX}\), l’equazione del moto diviene \(\vec{F}_A + m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}\): \[ \begin{cases} -mg\sin\alpha + N = 0 \\ mg\sin\alpha - \mu_D N = ma \end{cases} \implies \begin{cases} N = mg\cos\alpha \\ mg\sin\alpha - \mu_D mg\cos\alpha = ma \end{cases} \] L’accelerazione risulta \(a = g(\sin\alpha - \mu_D\cos\alpha)\). Integrando: \[ \begin{cases} v(t) = g(\sin\alpha - \mu_D\cos\alpha)t \\ x(t) = \frac{1}{2}g(\sin\alpha - \mu_D\cos\alpha)t^2 \end{cases} \] Posto \(x(\tau) = l\): \[ \tau = \sqrt{\frac{2l}{g(\sin\alpha - \mu_D\cos\alpha)}}, \qquad v_A = v(\tau) = \sqrt{2lg(\sin\alpha - \mu_D\cos\alpha)}. \]

Exercise 1.9  

Determinare \(F_{MIN}\) e \(\theta^*\) per garantire l’equilibrio del sistema.

Imponendo l’equilibrio \(\vec{F} + \vec{F}_A + \vec{N} + m\vec{g} = \vec{0}\): \[ \begin{cases} -N + F\cos\theta = 0 \\ F_A + F\sin\theta - mg = 0 \end{cases} \] Per minimizzare la forza \(F\), si impone lo sviluppo della massima forza di attrito statico \(F_A = F_A^{MAX} = \mu_S N\). Sostituendo nelle equazioni si ottiene: \[ F\sin\theta \le mg - \mu_S F\cos\theta \implies F(\cos\theta + \mu_S\sin\theta) \le mg \implies F \ge \frac{mg}{\cos\theta + \mu_S\sin\theta}. \] Per individuare l’angolo ottimale, si annulla la derivata: \[ -\sin\theta + \mu_S\cos\theta = 0 \implies \tan\theta = \mu_S \implies \theta^* = \arctan\mu_S. \] Il valore minimo assunto dalla forza risulta: \[ F_{MIN} = \frac{mg}{\sin\theta^* + \mu_S\cos\theta^*} = \frac{mg}{\frac{1}{\sqrt{1+\mu_S^2}} + \mu_S\frac{\mu_S}{\sqrt{1+\mu_S^2}}} = \frac{mg}{\sqrt{1+\mu_S^2}}. \] Specularmente, ponendo \(F_A = -\mu_S N\): \[ F\sin\theta = mg + F_A \ge mg + \mu_S N \implies F(\sin\theta - \mu_S\cos\theta) \ge mg \implies F \ge \frac{mg}{\sin\theta^* - \mu_S\cos\theta^*}. \] Da cui: \[ F_{MAX} = \frac{mg\sqrt{1+\mu_S^2}}{1-\mu_S^2} \implies F_{MAX} = F_{MIN} \frac{1+\mu_S^2}{1-\mu_S^2} \implies F_{MAX} \ge F_{MIN}. \] Condizione limite se \(F_A \ge 0 \implies F_G = \frac{mg}{\sin\theta^*} = mg\sqrt{1+\mu_S^2}\).

Exercise 1.10  

Dato un corpo di massa \(m\) in moto su un piano orizzontale con velocità iniziale \(v_0\) e coefficiente di attrito \(\mu_0\), sottoposto ad una forza verticale \(\vec{f}\). Determinare lo spazio d’arresto \(x(\tau)\).

Dall’equazione del moto \(\vec{F}_A + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{f} = m\vec{a}\): \[ \begin{cases} -mg + N - f = 0 \\ -\mu_0 N = ma \end{cases} \implies \begin{cases} N = mg + f \\ a = -\mu_0\left(g + \frac{f}{m}\right) \end{cases} \]

\(f = bt\) \[ a = -\mu_0\left(g + \frac{b}{m}t\right). \] Integrando rispetto al tempo: \[ v(t) = -\mu_0\left(gt + \frac{b}{2m}t^2\right) + v_0, \qquad x(t) = -\mu_0\left(\frac{1}{2}gt^2 + \frac{b}{6m}t^3\right) + v_0 t. \] All’istante di arresto \(v(\tau) = 0\): \[ -\mu_0\left(g\tau + \frac{b}{2m}\tau^2\right) + v_0 = 0 \implies \mu_0 b \tau^2 + 2m\mu_0 g \tau - 2m v_0 = 0. \] La soluzione fisicamente accettabile è: \[ \tau = \frac{-m\mu_0 g + \sqrt{m^2\mu_0^2 g^2 + 2m v_0 \mu_0 b}}{\mu_0 b}. \] Lo spazio di arresto è \(d = x(\tau)\).

\(f = cx\) \[ \ddot{x} = -\mu_0 g - \frac{\mu_0 c}{m}x \implies \ddot{x} + \frac{\mu_0 c}{m}x + \mu_0 g = 0. \] Posto \(\omega^2 = \frac{\mu_0 c}{m}\), l’equazione assume la forma \(\ddot{x} + \omega^2 x + \mu_0 g = 0\), la cui soluzione particolare è \(x_p = -\frac{\mu_0 g}{\omega^2}\). L’integrale generale risulta: \[ x(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t - \frac{\mu_0 g}{\omega^2}, \qquad v(t) = \dot{x}(t) = -\omega A\sin\omega t + \omega B\cos\omega t. \] Applicando le condizioni iniziali \(x(0) = 0\) e \(v(0) = v_0\): \[ v(0) = v_0 = \omega B \implies B = \frac{v_0}{\omega}. \] \[ x(0) = 0 \implies A = \frac{\mu_0 g}{\omega^2}. \] Le leggi orarie definitive sono: \[ x(t) = \frac{\mu_0 g}{\omega^2}\cos\omega t + \frac{v_0}{\omega}\sin\omega t - \frac{\mu_0 g}{\omega^2}, \qquad v(t) = -\frac{\mu_0 g}{\omega}\sin\omega t + v_0\cos\omega t. \] L’istante di arresto \(v(\tau) = 0\) è: \[ \tau = \frac{1}{\omega} \arctan\left(\frac{v_0 \omega}{\mu_0 g}\right). \] Sostituendo \(\tau\) nella legge oraria, si ottiene lo spazio di arresto: \[ d = x(\tau) = \frac{\mu_0 g}{\omega^2} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{v_0^2\omega^2}{\mu_0^2 g^2}}} + \frac{v_0}{\omega} \frac{\frac{v_0\omega}{\mu_0 g}}{\sqrt{1 + \frac{v_0^2\omega^2}{\mu_0^2 g^2}}} - \frac{\mu_0 g}{\omega^2} = \dots \]

Dall’equazione vettoriale \(\vec{N} + \vec{F}_A + m\vec{g} = m\vec{a}\), proiettando sugli assi solidali al corpo in salita: \[ \begin{cases} N - mg\cos\alpha = 0 \\ -\mu_0 N - mg\sin\alpha = ma \end{cases} \implies \begin{cases} N = mg\cos\alpha \\ a = -g(\sin\alpha + \mu_0\cos\alpha) \end{cases} \] Posto \(v(\tau_1) = 0\), la legge della velocità per la fase di salita è \(v(t) = -g(\sin\alpha + \mu_0\cos\alpha)t + v_0\). Imponendo l’annullamento della velocità e definendo le fasi temporali \(\tau_1\) (salita) e \(\tau_2\) (discesa, da calcolare separatamente in base all’inversione dell’attrito): \[ \begin{cases} -g\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\mu_0)\tau_1 + v_0 = 0 \\ -g\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\mu_0)\tau_2 + v_0 = 0 \end{cases} \] dove \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) implica \(\sin\alpha = \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Exercise 1.11  

Determinare \(v_0\) in presenza di attrito e forza elastica.

Dall’equilibrio dinamico \(m\vec{g} + \vec{F}_A + \vec{F}_S + \vec{N} = m\vec{a}\): \[ \begin{cases} -mg + N = 0 \\ -\mu_0 N - Kx = ma \end{cases} \implies \begin{cases} N = mg \\ -\mu_0 mg - Kx = m\ddot{x} \end{cases} \implies \ddot{x} + \frac{K}{m}x + \mu_0 g = 0 \] Posto \(\omega^2 = \frac{K}{m}\), si ottiene \(\ddot{x} + \omega^2 x + \mu_0 g = 0\). La soluzione generale è: \[ x(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t - \frac{\mu_0 g}{\omega^2}. \] Applicando le condizioni iniziali \(x(0) = 0\) e \(\dot{x}(0) = v_0\): \[ x(t) = \frac{\mu_0 g}{\omega^2}\cos\omega t + \frac{v_0}{\omega}\sin\omega t - \frac{\mu_0 g}{\omega^2}, \qquad v(t) = -\frac{\mu_0 g}{\omega}\sin\omega t + v_0\cos\omega t. \] L’istante di arresto \(v(\tau) = 0\) è \(\tau = \frac{1}{\omega}\arctan\left(\frac{v_0\omega}{\mu_0 g}\right)\). Lo spostamento massimo è: \[ \delta = x(\tau) = \frac{\mu_0 g}{\omega^2}\sqrt{1+\frac{v_0^2\omega^2}{\mu_0^2 g^2}} - \frac{\mu_0 g}{\omega^2}. \]

Affinché il corpo non retroceda, deve valere \(\vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_A + \vec{F}_S = \vec{0}\), con il verso dell’attrito invertito: \[ \begin{cases} N - mg = 0 \\ F_A - K\delta = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} N = mg \\ K\delta = F_A \le \mu_S N = \mu_S mg \end{cases} \] Sostituendo \(\delta\): \[ K \left[ \frac{\mu_0 g}{\omega^2} \left( \sqrt{1 + \frac{v_0^2\omega^2}{\mu_0^2 g^2}} - 1 \right) \right] \le \mu_S mg \implies \sqrt{1 + \frac{v_0^2\omega^2}{\mu_0^2 g^2}} - 1 \le \frac{\mu_S}{\mu_0}. \] Risolvendo per \(v_0\): \[ 1 + \frac{v_0^2\omega^2}{\mu_0^2 g^2} \le \left( \frac{\mu_S}{\mu_0} - 1 \right)^2 \implies v_0 \le \sqrt{\left[ \left( \frac{\mu_S}{\mu_0} - 1 \right)^2 - 1 \right] \frac{\mu_0^2 m g^2}{K}}. \]

Valgono le relazioni cinematiche: \[ \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{r}' \implies \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}_0}{dt} + \frac{d\mathbf{r}'}{dt} \implies \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{v}' \implies \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{v}_0}{dt} + \frac{d\vec{v}'}{dt}. \] Da cui, per l’accelerazione e le forze: \[ \vec{a} = \vec{a}_0 + \vec{a}' \implies m\vec{a} = m\vec{a}_0 + m\vec{a}' \implies \vec{F} = m\vec{a}_0 + m\vec{a}' \implies \vec{F} - m\vec{a}_0 = m\vec{a}'. \] Il termine di accelerazione di trascinamento si decompone in: \[ \vec{a}_0 = \vec{a}_T + \vec{a}_C + \vec{a}_{COR}. \] L’equazione della dinamica nel sistema mobile diviene: \[ \vec{F} - \underbrace{m\vec{a}_T - m\vec{a}_C - m\vec{a}_{COR}}_{\text{Forze Apparenti}} = m\vec{a}'. \]

Definition 1.16 Si definisce forza centrifuga il termine \(\vec{F}_C = -m\vec{a}_C = m\omega^2 r \hat{r}\).

Definition 1.17 Si definisce forza di Coriolis il termine \(\vec{F}_{COR} = -m\vec{a}_{COR}\).

\[ m\vec{g} = m\vec{a} \implies \begin{cases} a_x = 0 \\ a_y = -g \end{cases} \implies \begin{cases} v_x(t) = v_0 \\ v_y(t) = -gt \end{cases} \implies \begin{cases} x(t) = v_0 t \\ y(t) = h - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \] Tempo di volo e gittata in \(S\): \[ y(\tau) = 0 \implies \tau = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \qquad d = x(\tau) = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}. \] La posizione del carrello (sistema \(S'\)) in \(S\) è \(X_T(t) = \frac{1}{2}At^2 + v_0 t\). All’istante \(\tau\): \[ D = X_T(\tau) = \frac{1}{2}A\frac{2h}{g} + d = \frac{A}{g}h + d. \]

\[ m\vec{g} - m\vec{A} = m\vec{a}' \implies \vec{a}' = \vec{g} - \vec{A}. \]

\[ \begin{cases} a_x = -A \\ a_y = -g \end{cases} \implies \begin{cases} v_x(t) = -At \\ v_y(t) = -gt \end{cases} \implies \begin{cases} x(t) = -\frac{1}{2}At^2 \\ y(t) = h - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \] Lo spostamento relativo in \(S'\) è: \[ \tau = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \qquad \Delta = x(\tau) = -\frac{1}{2}A \frac{2h}{g} = -\frac{A}{g}h. \] L’equazione della traiettoria è \(y = \frac{g}{A}x + h\).

Exercise 1.12  

Corpo su piano inclinato montato su carrello accelerato \(\vec{A}\) senza attrito.

L’equazione in \(S'\) è \(m\vec{g} + \vec{R} - m\vec{A} = m\vec{a}\). Scomponendo: \[ \begin{cases} -mg\cos\alpha + R - mA\sin\alpha = 0 \\ mg\sin\alpha - mA\cos\alpha = ma \end{cases} \implies \begin{cases} R = m(g\cos\alpha + A\sin\alpha) \\ a = g\sin\alpha - A\cos\alpha \end{cases} \] L’equilibrio si ottiene per \(a=0 \implies A_0 = g\tan\alpha\). Le leggi orarie risultano \(v(t) = a t\), \(x(t) = \frac{1}{2}a t^2\). Essendo il percorso \(l = \frac{h}{\sin\alpha}\): \[ \frac{1}{2}(g\sin\alpha - A\cos\alpha)\tau^2 = \frac{h}{\sin\alpha} \implies \tau = \sqrt{\frac{2h}{\sin\alpha(g\sin\alpha - A\cos\alpha)}}. \]

Exercise 1.13  

Estensione del caso precedente con inserimento dell’attrito \(\vec{F}_A\).

Imponendo l’equilibrio \(\vec{R} + m\vec{g} - m\vec{A} \pm \vec{F}_A = \vec{0}\): \[ \begin{cases} -mg\cos\alpha + R - mA\sin\alpha = 0 \\ mg\sin\alpha - mA\cos\alpha \pm F_A = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} R = m(g\cos\alpha + A\sin\alpha) \\ g\sin\alpha - A\cos\alpha \pm \mu_S(g\cos\alpha + A\sin\alpha) = 0 \end{cases} \] Raccogliendo \(A\) e \(g\): \[ g(\sin\alpha \pm \mu_S\cos\alpha) = A(\cos\alpha \mp \mu_S\sin\alpha) \implies A = g \frac{\sin\alpha \pm \mu_S\cos\alpha}{\cos\alpha \mp \mu_S\sin\alpha}. \] Gli estremi di accelerazione per garantire la quiete relativa sono: \[ A_{MIN} = g \frac{\sin\alpha - \mu_S\cos\alpha}{\cos\alpha + \mu_S\sin\alpha}, \qquad A_{MAX} = g \frac{\sin\alpha + \mu_S\cos\alpha}{\cos\alpha - \mu_S\sin\alpha}. \] L’equilibrio sussiste se \(A_{MIN} \le A \le A_{MAX}\).

Exercise 1.14  

Moto di un pendolo conico in regime non uniforme sotto l’azione di una forza \(\vec{F}\) uscente dal piano.

L’equilibrio dinamico impone \(\vec{\tau} + m\vec{g} + \vec{R} + \vec{F} - m\vec{a}_c - m\vec{a}_\theta = \vec{0}\). Scomponendo nelle direzioni radiale, verticale e tangenziale (uscente): \[ \begin{cases} -mg\sin\alpha + R + m a_c \cos\alpha = 0 \\ -\tau + mg\cos\alpha + m a_c \sin\alpha = 0 \\ F - m a_\theta = 0 \end{cases} \] Essendo \(a_c = \omega^2 r = \omega^2 l \sin\alpha\) e \(a_\theta = \dot{\omega} r = \dot{\omega} l \sin\alpha\): \[ \begin{cases} -mg\sin\alpha + R + m \omega^2 l \sin\alpha \cos\alpha = 0 \\ -\tau + mg\cos\alpha + m \omega^2 l \sin^2\alpha = 0 \\ F - m \dot{\omega} l \sin\alpha = 0 \end{cases} \] Dalla terza equazione si ricava l’accelerazione angolare e, integrando per partenza da fermo, la velocità angolare: \[ \dot{\omega} = \frac{F}{m l \sin\alpha} \implies \omega(t) = \frac{Ft}{m l \sin\alpha}. \] Sostituendo \(\omega(t)\) nelle prime due equazioni: \[ \tau = mg\cos\alpha + m l \sin^2\alpha \left( \frac{F^2 t^2}{m^2 l^2 \sin^2\alpha} \right) = mg\cos\alpha + \frac{F^2 t^2}{m l}. \] \[ R = mg\sin\alpha - m l \sin\alpha\cos\alpha \left( \frac{F^2 t^2}{m^2 l^2 \sin^2\alpha} \right) = mg\sin\alpha - \frac{F^2 t^2}{m l \tan\alpha}. \] Il distacco dal piano avviene quando la reazione vincolare si annulla (\(R = 0\)): \[ mg\sin\alpha = \frac{F^2 t^2}{m l \tan\alpha} \implies t^* = \sqrt{\frac{m^2 g l \sin^2\alpha}{F^2 \cos\alpha}}. \]

Il lavoro infinitesimo di una forza \(\vec{F}\) per uno spostamento elementare \(d\vec{l}\) lungo una curva \(\gamma\) è dato dal prodotto scalare \(\vec{F} \cdot d\vec{l}\). Il lavoro totale lungo l’arco da \(A\) a \(B\) è l’integrale di linea: \[ \mathcal{L}_{AB} = \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{l}. \] Applicando il secondo principio della dinamica \(\vec{F} = m\vec{a}\): \[\begin{align*} \mathcal{L}_{AB} &= \int_{\gamma} m\vec{a} \cdot d\vec{l} = m \int_{\gamma} \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{l} = m \int_{\gamma} d\vec{v} \cdot \frac{d\vec{l}}{dt} = m \int_{\vec{v}_A}^{\vec{v}_B} \vec{v} \cdot d\vec{v} \\ &= m \left[ \int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_x dv_x + \int_{v_{Ay}}^{v_{By}} v_y dv_y + \int_{v_{Az}}^{v_{Bz}} v_z dv_z \right] \\ &= \frac{m}{2} \left[ (v_{Bx}^2 - v_{Ax}^2) + (v_{By}^2 - v_{Ay}^2) + (v_{Bz}^2 - v_{Az}^2) \right] \\ &= \frac{1}{2}m v_B^2 - \frac{1}{2}m v_A^2. \end{align*}\]

Definition 1.18 Si definisce energia cinetica la grandezza scalare \(T = \frac{1}{2}mv^2\).

Theorem 1.3 (Teorema delle Forze Vive) Il lavoro totale compiuto dalle forze agenti su un punto materiale è pari alla variazione della sua energia cinetica: \[ \mathcal{L}_{AB} = T_B - T_A. \]

Remark 1.15.

In generale, il lavoro dipende dalla particolare traiettoria seguita. Segno del lavoro:

Un campo di forze si dice conservativo se il lavoro compiuto lungo una linea chiusa è nullo o, equivalentemente, se il lavoro tra due punti non dipende dal cammino. In tal caso, il campo ammette una funzione potenziale scalare \(U(x,y,z)\) tale che \(\vec{F} = -\vec{\nabla}U\).

In coordinate cartesiane e sferiche: \[ \vec{\nabla} \equiv \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right), \qquad \vec{\nabla} \equiv \left( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}, \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \right). \]

Il differenziale esatto dell’energia potenziale è: \[ dU = \vec{\nabla}U \cdot d\vec{l}. \] Il lavoro compiuto da una forza conservativa si calcola come: \[ \mathcal{L}_{AB} = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{l} = -\int_A^B \vec{\nabla}U \cdot d\vec{l} = -\int_A^B dU = -(U_B - U_A) = U_A - U_B. \]

Affinché un campo \(\vec{F}\) sia conservativo (in un dominio semplicemente connesso, ossia privo di “buchi” topologici bidimensionali), il rotore deve essere nullo, che in termini di derivate parziali si esprime: \[ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x}, \qquad \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial z}, \qquad \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial F_z}{\partial y}. \]

Theorem 1.4 (Conservazione dell’Energia Meccanica) Se il sistema è soggetto unicamente a forze conservative, definendo l’energia meccanica totale \(E = T + U\), si ha che l’energia si conserva. Dimostrazione: \[ \mathcal{L}_{AB} = T_B - T_A = U_A - U_B \implies T_A + U_A = T_B + U_B \implies E_A = E_B. \]

Se operano forze non conservative (attriti, forze dissipative), il loro lavoro \(\mathcal{L}^{(nc)}\) determina una variazione dell’energia meccanica: \[ \vec{F} = \vec{F}_C + \vec{F}_{nc} \implies \mathcal{L}_{AB} = U_A - U_B + \mathcal{L}^{(nc)} = T_B - T_A \implies E_B - E_A = \mathcal{L}^{(nc)}. \]

Il lavoro della forza elastica è: \[ \mathcal{L}_{AB} = \int_{x_A}^{x_B} -kx dx = -\frac{1}{2}k\left[x^2\right]_{x_A}^{x_B} = \frac{1}{2}kx_A^2 - \frac{1}{2}kx_B^2 = U_A - U_B. \] L’energia potenziale elastica risulta \(U(x) = \frac{1}{2}kx^2\).

L’energia totale per l’oscillatore armonico (con \(x(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t\) e \(\omega^2 = k/m\)): \[\begin{align*} T &= \frac{1}{2}m\dot{x}^2 = \frac{1}{2}m(-\omega A\sin\omega t + \omega B\cos\omega t)^2 = \frac{1}{2}k(B\cos\omega t - A\sin\omega t)^2 \\ U &= \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(A\cos\omega t + B\sin\omega t)^2 \\ E &= T + U = \frac{1}{2}k\left[B^2\cos^2\omega t + A^2\sin^2\omega t + A^2\cos^2\omega t + B^2\sin^2\omega t\right] = \frac{1}{2}k(A^2 + B^2). \end{align*}\] L’energia è rigorosamente costante nel tempo.

Exercise 1.15  

Calcolo della compressione massima della molla (\(\delta_{MAX}\)) e applicazione del Teorema delle Forze Vive in presenza di attrito.

Conservazione dell’energia meccanica tra l’istante iniziale (impatto) e l’istante finale (compressione massima): \[ \begin{rcases} E_i = T_i + U_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0 \\ E_f = T_f + U_f = 0 + \frac{1}{2}k\delta_{MAX}^2 \end{rcases} \implies \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}k\delta_{MAX}^2 \implies \delta_{MAX} = \sqrt{\frac{m}{k}} v_0 = \frac{v_0}{\omega}. \]

Spazio d’arresto \(L\) per massa bloccata dall’attrito (senza molla). \[ E_i = \frac{1}{2}m v_0^2, \qquad E_f = 0 \implies E_f - E_i = \mathcal{L}^{(nc)} \implies -\frac{1}{2}m v_0^2 = \mathcal{L}^{(nc)}. \] Essendo \(\mathcal{L}^{(nc)} = \int_0^L -\mu_D mg dx = -\mu_D mg L\): \[ -\mu_D mg L = -\frac{1}{2}m v_0^2 \implies L = \frac{v_0^2}{2\mu_D g}. \]

Il lavoro della forza gravitazionale centrale \(\vec{F}_G = -G\frac{m_1 m_2}{r^2}\hat{r}\) lungo un cammino radiale da \(r_A\) a \(r_B\) è: \[ \mathcal{L} = \int_\gamma \vec{F}_G \cdot d\vec{l} = -G m_1 m_2 \int_{r_A}^{r_B} \frac{dr}{r^2} = G m_1 m_2 \left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right) = U_A - U_B. \] L’energia potenziale gravitazionale assume la forma \(U(r) = -G\frac{m_1 m_2}{r}\) (definita a meno di una costante additiva).

Per la forza peso uniforme in prossimità della superficie terrestre (\(\vec{F} = -mg\hat{j}\)):

\[ \mathcal{L} = \int_\gamma -mg\hat{j} \cdot d\vec{l} = -mg \int_{y_A}^{y_B} dy = -mg(y_B - y_A) = mg y_A - mg y_B = U_A - U_B. \] L’energia potenziale della forza peso risulta \(U(y) = mgy\). L’unità di misura nel SI per lavoro ed energia è il Joule (\(\text{J} \equiv \text{N}\cdot\text{m}\)).

I punti stazionari della funzione potenziale (\(\frac{dU}{dx} = 0\), dove \(\vec{F} = \vec{0}\)) classificano lo stato di equilibrio meccanico:

Remark 1.15.

In regime di piccole oscillazioni (sviluppo in serie di Taylor), l’energia potenziale è: \[ U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2, \qquad \text{con } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. \]

Remark 1.15.

Il potenziale gravitazionale tra due masse puntiformi è: \[ U = -G\frac{m_1 m_2}{r}. \]

Applicando la conservazione dell’energia meccanica per il calcolo della distanza di massimo allontanamento \(r_d\) (dove \(v_1=v_2=0\)): \[ E_i = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - G\frac{m_1 m_2}{r_0}, \qquad E_f = -G\frac{m_1 m_2}{r_d} \implies E_i = E_f. \] Sviluppo di Taylor dell’energia potenziale nell’intorno di un punto di equilibrio stabile \(x_A\) (\(\frac{dU}{dx}\Big|_{x_A} = 0\)): \[ U(x) \simeq U(x_A) + \frac{1}{2}\frac{d^2 U}{dx^2}\bigg|_{x=x_A}(x-x_A)^2. \] Identificando la derivata seconda con la costante elastica equivalente \(k = \frac{d^2 U}{dx^2}\Big|_{x_A} > 0\), l’energia potenziale locale si approssima all’energia potenziale elastica \(U(x) \simeq \frac{1}{2}k(x-x_A)^2\) (a meno di costanti).

Exercise 1.16  

Pendolo in conservazione di energia.

Dalla geometria, la quota rispetto al punto più basso è \(h = l - l\cos\theta = l(1-\cos\theta)\). Imponendo \(E_i = E_f\): \[ E_i = T_i + U_i = mgh = mgl(1-\cos\theta), \qquad E_f = T_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2 + 0. \] Da cui la velocità nel punto più basso: \[ \frac{1}{2}mv^2 = mgl(1-\cos\theta) \implies v = \sqrt{2gl(1-\cos\theta)}. \] La tensione del filo nel punto più basso si determina proiettando l’equazione della dinamica lungo l’asse radiale: \[ \tau - mg = m\frac{v^2}{l} \implies \tau = mg + m\frac{v^2}{l}. \]

Exercise 1.17  

Giro della morte (Looping).

Affinché il corpo non si distacchi nel punto più alto del loop (quota \(2r\)), la forza centripeta richiesta deve essere fornita interamente dalla gravità (reazione normale \(N \ge 0\)): \[ m\frac{v^2}{r} \ge mg \implies v^2 \ge gr. \] Applicando la conservazione dell’energia tra il punto di partenza (quota \(h\)) e il punto più alto del loop: \[ E_i = mgh, \qquad E_f = 2mgr + \frac{1}{2}mv^2 \implies mgh = \frac{1}{2}mv^2 + 2mgr. \] Esplicitando \(v^2\): \[ v^2 = 2gh - 4gr. \] Imponendo la condizione di non distacco: \[ 2gh - 4gr \ge gr \implies 2gh \ge 5gr \implies h \ge \frac{5}{2}r. \]

Le Leggi di Keplero descrivono la cinematica orbitale:

Per un sistema isolato composto da \(m_S\) e \(m_T\), interagenti tramite la forza gravitazionale \(\vec{F} = -G\frac{m_S m_T}{r^2}\hat{r}\), vale il Terzo Principio della Dinamica: \(\vec{F} = -\vec{F}'\). Le equazioni del moto nei rispettivi sistemi inerziali sono: \[ \vec{F} = m_T \ddot{\mathbf{r}}_T, \qquad \vec{F}' = m_S \ddot{\mathbf{r}}_S \implies \ddot{\mathbf{r}}_S = \frac{\vec{F}'}{m_S} = -\frac{\vec{F}}{m_S}. \] Essendo \(\mathbf{r} = \mathbf{r}_T - \mathbf{r}_S\), sottraendo le accelerazioni: \[ \ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{r}}_T - \ddot{\mathbf{r}}_S = \frac{\vec{F}}{m_T} - \left(-\frac{\vec{F}}{m_S}\right) = \vec{F} \left( \frac{1}{m_T} + \frac{1}{m_S} \right) = \vec{F} \left( \frac{m_S + m_T}{m_S m_T} \right). \] Definendo la massa ridotta \(\mu = \frac{m_S m_T}{m_S + m_T}\), il moto relativo è governato dall’equazione equivalente: \[ \vec{F} = \mu \ddot{\mathbf{r}}. \] Poiché tipicamente \(m_T \ll m_S\), si ha \(\mu = \frac{m_T}{1 + \frac{m_T}{m_S}} \simeq m_T\), e il moto relativo si approssima al moto di \(m_T\) attorno a \(m_S\) fisso.

Essendo la forza gravitazionale centrale (\(\vec{F} \parallel \mathbf{r}\)), il momento torcente rispetto al Sole è nullo: \(\vec{M}_S = \mathbf{r} \times \vec{F} = \vec{0}\). Di conseguenza, il momento angolare \(\vec{L}_S = \mathbf{r} \times \mu\vec{v}\) si conserva e l’orbita giace su un piano fisso ortogonale a \(\vec{L}_S\).

In coordinate polari, l’area infinitesima spazzata dal raggio vettore è \(dS = \frac{1}{2}r^2 d\theta\). La velocità areolare risulta: \[ v_A = \frac{dS}{dt} = \frac{1}{2}r^2 \dot{\theta}. \] Derivando rispetto al tempo: \[ \frac{dv_A}{dt} = \frac{1}{2}(2r\dot{r}\dot{\theta} + r^2\ddot{\theta}) = \frac{1}{2}r(2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}) = \frac{1}{2}r a_\theta = 0, \] poiché per forze centrali l’accelerazione trasversale \(a_\theta\) è nulla. Ciò dimostra la Seconda Legge di Keplero: \(v_A = \text{costante}\). Si definisce la costante delle aree \(c = r^2\dot{\theta}\).

Sfruttando la conservazione dell’energia \(E = \frac{1}{2}\mu v^2 - G\frac{m_S m_T}{r}\) ed esprimendo \(v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 = \dot{r}^2 + \frac{c^2}{r^2}\), si perviene, tramite integrazione dell’equazione differenziale dell’orbita \(r(\theta)\), all’equazione delle coniche in forma polare: \[ r(\theta) = \frac{P}{1 + e\cos(\theta - \theta_0)} \] dove \(P = \frac{c^2}{G(m_S+m_T)}\) è il semilato retto ed \(e = \sqrt{1 + \frac{2E c^2}{\mu G^2(m_S+m_T)^2}}\) è l’eccentricità. L’orbita risulta:

Per dimostrare la Terza Legge di Keplero per orbite ellittiche, si osserva che l’area totale dell’ellisse è \(S = \pi ab\). Integrando la velocità areolare costante su un periodo \(T\): \[ \int_0^T v_A dt = \int_0^T \frac{c}{2} dt \implies \pi ab = \frac{c}{2}T \implies T = \frac{2\pi ab}{c} \implies T^2 = \frac{4\pi^2 a^2 b^2}{c^2}. \] Dalla geometria dell’ellisse, noto che \(b^2 = a^2(1-e^2)\) e valutando \(r\) ad afelio (\(\theta=\pi\)) e perielio (\(\theta=0\)) si ha \(2a = \frac{P}{1+e} + \frac{P}{1-e} = \frac{2P}{1-e^2}\), da cui \(a(1-e^2) = P\). Sostituendo: \[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2 a^2 a^2(1-e^2)}{a^3 c^2} = \frac{4\pi^2 a(1-e^2)}{c^2} = \frac{4\pi^2 P}{c^2}. \] Essendo \(P = \frac{c^2}{G(m_S+m_T)}\): \[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{c^2} \frac{c^2}{G(m_S+m_T)} = \frac{4\pi^2}{G(m_S+m_T)}. \] Con l’approssimazione \(m_T \ll m_S\), il denominatore diviene \(Gm_S\left(1 + \frac{m_T}{m_S}\right) \simeq Gm_S\), giungendo al risultato finale: \[ \frac{T^2}{a^3} \simeq \frac{4\pi^2}{G m_S}. \]

Exercise 1.18  

Dato un corpo di massa \(m\) in orbita radiale lungo un tunnel terrestre e un tunnel esterno, determinare il lavoro necessario per raddoppiare la distanza \(d\).

L’energia meccanica totale di un corpo in orbita circolare a distanza \(R_T + x\) dal centro della Terra è: \[ E = T + U = \frac{1}{2} m v^2 - G\frac{M_T m}{R_T + x} \] Imponendo l’uguaglianza tra forza centripeta e forza gravitazionale: \[ m\frac{v^2}{R_T+x} = G\frac{M_T m}{(R_T+x)^2} \implies \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} G\frac{m M_T}{R_T+x}. \] Sostituendo nell’espressione dell’energia: \[ E(x) = \frac{1}{2} G\frac{m M_T}{R_T+x} - \frac{G M_T m}{R_T+x} = -\frac{1}{2} G\frac{m M_T}{R_T+x}. \] Per il Teorema dell’Energia Meccanica, il lavoro delle forze non conservative (necessario per il cambio d’orbita) è \(\mathcal{L} = E(2d) - E(d)\):

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2} G m M_T \left( - \frac{1}{R_T+2d} + \frac{1}{R_T+d} \right) = \frac{1}{2} G m M_T \frac{d}{(R_T+2d)(R_T+d)}. \]

Exercise 1.19  

Giro della morte (Looping) con attrito. Determinare \(N\), \(f\), e \(\mathcal{L}\).

Applicando il secondo principio della dinamica per il corpo fermo (\(\vec{f} + \vec{N} + m\vec{g} = \vec{0}\)), e proiettando sugli assi scelti: \[ \begin{cases} N - mg\cos\theta = 0 \\ -f + mg\sin\theta = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} N = mg\cos\theta \\ f = mg\sin\theta \end{cases} \] Per un punto lanciato nel loop, la conservazione dell’energia include il lavoro non conservativo: \(E_i + \mathcal{L} = E_f\). Assumendo l’inizio alla quota \(r\) (ad esempio) e l’arrivo alla base con velocità \(v_0\): \[ E_i = mgr, \qquad E_f = \frac{1}{2}m v_0^2 \implies mgr + \mathcal{L} = \frac{1}{2}m v_0^2 \implies \mathcal{L} = \frac{1}{2}m v_0^2 - mgr. \] La reazione normale nel punto più basso del loop (dove la velocità è \(v_0\)) si ricava dall’equazione radiale: \[ N_f - mg = m\frac{v_0^2}{r} \implies N_f = mg + m\frac{v_0^2}{r}. \]

Exercise 1.20  

Pendolo composto su piattaforma mobile/accelerata.

Equazione del moto per la massa pendolare: \(\vec{\tau} + m\vec{g} - m\vec{a}_C = \vec{0}\). Dalla proiezione, considerando l’angolo e la forza apparente, si ha: \[ -\tau + mg\cos\alpha + m\frac{v^2}{l-r\alpha} = 0 \implies \tau = mg\cos\alpha + \frac{mv^2}{l-r\alpha}. \] Applicando la conservazione dell’energia \(E_i = E_f\): \[ E_i = \frac{1}{2}m v_0^2, \qquad E_f = \frac{1}{2}m v^2 + mgh. \] Dalla geometria, il dislivello è \(h = l - h_1 - h_2 = l - r\sin\alpha - (l-r\alpha)\cos\alpha\). Pertanto: \[ \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mg[l - r\sin\alpha - l\cos\alpha + r\alpha\cos\alpha] \implies v^2 = v_0^2 - 2g[l(1-\cos\alpha) + r(\alpha\cos\alpha - \sin\alpha)]. \] Sostituendo la velocità nell’espressione della tensione: \[ \tau = mg\cos\alpha + \frac{m}{l-r\alpha}\Big[v_0^2 - 2g[l(1-\cos\alpha) + r(\alpha\cos\alpha - \sin\alpha)]\Big]. \] Imponendo l’annullamento della tensione \(\tau(\pi) = 0\), si può determinare la velocità iniziale \(v_0\) limite.

Exercise 1.21  

Massa in rotazione su asse inclinato.

L’equazione nel sistema rotante è \(m\vec{g} + \vec{N} - m\vec{a}_c + \vec{F}_A = \vec{0}\). Proiettando lungo il piano inclinato (\(x\)) e la normale (\(y\)): \[ \begin{cases} -mg\sin\alpha + N - ma_c\cos\alpha = 0 \\ -mg\cos\alpha + ma_c\sin\alpha \pm F_A = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} N = m(g\sin\alpha + a_c\cos\alpha) \\ \pm \mu_S N = mg\cos\alpha - a_c\sin\alpha \end{cases} \] Sostituendo la reazione vincolare \(N\): \[ \pm \mu_S (g\sin\alpha + a_c\cos\alpha) = g\cos\alpha - a_c\sin\alpha \implies a_c (\sin\alpha \pm \mu_S\cos\alpha) = g(\cos\alpha \mp \mu_S\sin\alpha). \] L’accelerazione centripeta richiesta è \(a_c = \frac{g(\cos\alpha \mp \mu_S\sin\alpha)}{\sin\alpha \pm \mu_S\cos\alpha}\). Essendo \(a_c = \omega^2 r = \omega^2 \left(\frac{l}{2}\right) \sin\alpha\): \[ \omega^2 \frac{l}{2} \sin\alpha = \frac{g(\cos\alpha \mp \mu_S\sin\alpha)}{\sin\alpha \pm \mu_S\cos\alpha} \implies \omega = \sqrt{\frac{2g(\cos\alpha \mp \mu_S\sin\alpha)}{(l\sin\alpha)(\sin\alpha \pm \mu_S\cos\alpha)}}. \]

Applicando il Teorema dell’Energia Cinetica nel sistema non inerziale \(E_i + \mathcal{L}_{AB}^{(c)} = E_f\): \[ E_i = 0, \qquad E_f = \frac{1}{2}m v^2 + mg\frac{l}{2}\cos\alpha. \] Il lavoro della forza centrifuga radiale (\(\vec{F}_c = m\omega^2 r \hat{r}\)) lungo l’asta inclinata (ponendo l’origine in \(B\) e parametrizzando con \(x\) lungo l’asta da \(0\) a \(l/2\)): \[\begin{align*} \mathcal{L}_{AB}^{(c)} &= \int_A^B \vec{F}_c \cdot d\vec{l} = \int_0^{l/2} m\omega^2 r \sin\alpha \, dx = \int_0^{l/2} m\omega^2 \left(\frac{l}{2} + x\right)\sin^2\alpha \, dx \\ &= m\omega^2\sin^2\alpha \left[ \frac{\left(\frac{l}{2} + x\right)^2}{2} \right]_0^{l/2} = m\omega^2\sin^2\alpha \left( \frac{l^2}{2} - \frac{l^2}{8} \right) = m\omega^2\sin^2\alpha \frac{3}{8}l^2. \end{align*}\] Uguagliando: \[ m\omega^2\sin^2\alpha \frac{3}{8}l^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mg\frac{l}{2}\cos\alpha \implies v = \sqrt{ \frac{3}{4}\omega^2 l^2 \sin^2\alpha - gl\cos\alpha }. \] La velocità nel sistema inerziale si ottiene per composizione delle velocità \(\vec{v}' = \vec{v} + \vec{v}_0\). Poiché i due vettori sono ortogonali, si sommano in quadratura \(v'^2 = v^2 + v_0^2\). Essendo \(v_0 = \omega r = \omega l \sin\alpha\): \[ v'^2 = \left( \frac{3}{4}\omega^2 l^2 \sin^2\alpha - gl\cos\alpha \right) + \omega^2 l^2 \sin^2\alpha \implies v' = \sqrt{ \frac{7}{4}\omega^2 l^2 \sin^2\alpha - gl\cos\alpha }. \]

Un corpo rigido è un sistema di punti materiali in cui le mutue distanze rimangono invariate nel tempo. Il numero di gradi di libertà, definito come il numero di coordinate indipendenti necessarie per determinare univocamente la configurazione del sistema nello spazio, si deduce analizzando progressivamente i punti del corpo:

Un corpo rigido libero nello spazio tridimensionale possiede 6 gradi di libertà (3 traslazionali e 3 rotazionali).

Per l’\(i\)-esimo punto materiale di un sistema vale: \[ \vec{F}_i = m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \implies \vec{f}_i^{(e)} + \vec{f}_i^{(i)} = m_i \ddot{\mathbf{r}}_i. \] Sommando su tutte le masse del sistema e ricordando che la risultante delle forze interne è nulla per il terzo principio della dinamica (\(\sum_{i=1}^n \vec{f}_i^{(i)} = \vec{0}\)): \[ \sum_{i=1}^n \vec{f}_i^{(e)} = \sum_{i=1}^n m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \implies \vec{F}^{(e)} = \sum_{i=1}^n m_i \ddot{\mathbf{r}}_i. \] ::: {#def-definizione} Si definisce centro di massa per distribuzioni discrete e continue i rispettivi vettori: \[ \mathbf{r}_C = \frac{\sum_{i} m_i \mathbf{r}_i}{\sum_{i} m_i}, \qquad \mathbf{r}_C = \frac{\int_V \mathbf{r} \rho dV}{\int_V \rho dV}. \] :::

Si ha \(\vec{v}_C = \frac{\sum m_i \vec{v}_i}{M}\) e \(\vec{a}_C = \frac{\sum m_i \ddot{\mathbf{r}}_i}{M}\), con \(M = \sum m_i\). L’equazione traslazionale (Prima Equazione Cardinale) risulta: \[ \vec{F}^{(e)} = M\vec{a}_C. \]

Analogo per i momenti (\(\vec{M}_i = \frac{d\vec{L}_i}{dt} + \vec{v}_0 \times \vec{p}_i\), con polo arbitrario in moto a velocità \(\vec{v}_0\)): \[ \vec{M}_i^{(e)} + \vec{M}_i^{(i)} = \frac{d\vec{L}_i}{dt} + \vec{v}_0 \times \vec{p}_i. \] Sommando su tutto il sistema, la risultante dei momenti interni si annulla se le forze interne sono centrali. Pertanto, la Seconda Equazione Cardinale della Dinamica è: \[ \vec{M}^{(e)} = \frac{d\vec{L}}{dt} + \vec{v}_0 \times \vec{P}. \] Per un corpo rigido, le equazioni cardinali sono condizione necessaria e sufficiente per l’analisi dinamica: \[ \begin{cases} \vec{F}^{(e)} = M\vec{a}_C \\ \vec{M}^{(e)} = \frac{d\vec{L}}{dt} + \vec{v}_0 \times \vec{P} \end{cases} \]

Exercise 1.22  

Calcolo del centro di massa per sistemi discreti.

La formula vettoriale per due masse è \(\mathbf{r}_C = \frac{m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2}{m_1+m_2}\). Le singole coordinate sono: \[ x_C = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1+m_2}, \qquad y_C = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1+m_2}, \qquad z_C = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2}{m_1+m_2}. \]

Exercise 1.23  

Centro di massa di un’asta omogenea unidimensionale di lunghezza \(L\) e massa \(M\).

Dato che l’asta è omogenea, la densità lineare è costante: \(\lambda = \frac{dm}{dx} = \frac{M}{L}\). \[ x_C = \frac{\int x dm}{M} = \frac{\int_0^L \lambda x dx}{M} = \frac{\lambda}{M} \int_0^L x dx = \frac{\lambda}{M} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{M}{L} \frac{1}{M} \frac{L^2}{2} = \frac{L}{2}. \]

Exercise 1.24  

Centro di massa di un disco omogeneo sottile di raggio \(R\) e massa \(M\).

Con densità superficiale \(\sigma = \frac{dm}{dS} = \frac{M}{\pi R^2}\) e coordinate polari \(dS = r dr d\theta\): \[ x_C = \frac{1}{M} \int \sigma x dS = \frac{\sigma}{M} \int_0^R r^2 dr \int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta = 0, \qquad y_C = \frac{1}{M} \int \sigma y dS = \frac{\sigma}{M} \int_0^R r^2 dr \int_0^{2\pi} \sin\theta d\theta = 0. \] Il centro di massa coincide con il centro geometrico del disco.

Exercise 1.25  

Centro di massa di una sfera omogenea di raggio \(R\).

Usando coordinate sferiche, le posizioni sono \(x_C = y_C = 0\) per simmetria. Per \(z_C\): \[ z_C = \frac{\rho}{M} \int_0^R \int_0^\pi \int_0^{2\pi} (r\cos\theta) (r^2\sin\theta) dr d\theta d\phi = \frac{\rho}{M} \int_0^R r^3 dr \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin\theta\cos\theta d\theta. \] Poiché \(\int_0^\pi \sin\theta\cos\theta d\theta = \left[\frac{\sin^2\theta}{2}\right]_0^\pi = 0\), si conclude \(z_C = 0\). Il centro di massa è l’origine.

Le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio statico di un corpo rigido sono: \[ \begin{cases} \vec{F}^{(e)} = \vec{0} \\ \vec{M}^{(e)} = \vec{0} \end{cases} \] Se il sistema è soggetto a forze esterne parallele \(\vec{F}_i^{(e)} = f_i \hat{u}\), il momento totale rispetto all’origine è: \[ \vec{M}^{(e)} = \sum_{i} \mathbf{r}_i \times (f_i \hat{u}) = \left( \sum_{i} f_i \mathbf{r}_i \right) \times \hat{u}. \] Definendo il centro delle forze parallele \(\mathbf{r}_f = \frac{\sum f_i \mathbf{r}_i}{\sum f_i}\), il momento si esprime come \(\vec{M}^{(e)} = \mathbf{r}_f \times \vec{F}^{(e)}\). Per un sistema in campo gravitazionale uniforme, \(\mathbf{r}_f\) coincide con il centro di massa \(\mathbf{r}_C\).

Exercise 1.26  

Asta appoggiata in equilibrio statico.

Condizioni di equilibrio vettoriale ed equilibrio dei momenti rispetto al punto \(A\): \[ \begin{cases} \vec{N} + m\vec{g} + \vec{\tau} = \vec{0} \\ \vec{M}_A = \vec{0} \end{cases} \] Sviluppando \(\vec{M}_A = \mathbf{r}_C \times m\vec{g} + \mathbf{r}_B \times \vec{\tau} = \vec{0}\): \[ \left( \frac{l}{2}\cos\theta \hat{i} - \frac{l}{2}\sin\theta \hat{j} \right) \times (-mg \hat{j}) + \left( l\cos\theta \hat{i} - l\sin\theta \hat{j} \right) \times (-\tau \hat{i}) = \vec{0}. \] \[ -mg\frac{l}{2}\cos\theta \hat{k} + \tau l\cos\theta \hat{k} = \vec{0} \implies \tau = \frac{mg}{2}. \] Dalla proiezione delle forze lungo \(x\): \(N - \tau = 0 \implies N = \frac{mg}{2}\). (Nota: la direzione di \(\vec{N}\) e \(\vec{\tau}\) nel diagramma comporta segni specifici nelle equazioni scalari, confermando \(N = |\vec{\tau}|\)).

Exercise 1.27  

Sistema a L appoggiato.

Costituito da due segmenti identici di lunghezza \(l\) e massa \(m\), solidali ad angolo retto. Le coordinate dei centri di massa dei due rami sono: \[ C_1 \equiv \left( -\frac{l}{2}\sin\theta , -\frac{l}{2}\cos\theta \right), \qquad C_2 \equiv \left( -l\sin\theta + \frac{l}{2}\cos\theta , -l\cos\theta - \frac{l}{2}\sin\theta \right). \] Il centro di massa totale risulta: \[ x_C = \frac{x_{C1} + x_{C2}}{2} = \frac{l}{4}(\sin\theta - 3\cos\theta), \qquad y_C = \frac{y_{C1} + y_{C2}}{2} = \frac{l}{4}(-\cos\theta - 3\sin\theta). \] Affinché il sistema sia in equilibrio e appoggiato nel punto \(O\), la reazione vincolare \(N = 2mg\) contrasta il peso. Inoltre, affinché non si ribalti, la verticale per \(C\) deve passare per \(O\), annullando il momento della forza peso: \[ \vec{M}_O = x_C (2mg) = 0 \implies x_C = 0 \implies \frac{l}{4}(\sin\theta - 3\cos\theta) = 0 \implies \sin\theta = 3\cos\theta \implies \tan\theta = 3. \] L’angolo di equilibrio è \(\theta = \arctan(3)\).

Remark 1.15.

Condizione di stabilità contro il ribaltamento per un corpo su piano d’appoggio.

Le equazioni di equilibrio impongono \(\vec{F} = \vec{0} \implies N = Mg\) e \(\vec{M} = \vec{0}\). Calcolando i momenti rispetto ad un vertice della base di appoggio, emerge la condizione di stabilità: la retta d’azione della forza peso (la verticale calata dal centro di massa) deve intersecare la superficie compresa nella base d’appoggio \(b\). In caso contrario, il momento generato provocherà il ribaltamento.

Exercise 1.28  

All’equilibrio, la risultante delle forze e il momento risultante rispetto al polo nell’origine sono nulli: \[ \vec{F}_A^{(1)} + \vec{N}_1 + m\vec{g} + \vec{F}_A^{(2)} + \vec{N}_2 = \vec{0} \] \[ \vec{M}_0 = \mathbf{r}_c \times m\vec{g} + 2\mathbf{r}_c \times \vec{N}_2 + 2\mathbf{r}_c \times \vec{F}_A^{(2)} = \vec{0} \] Proiettando lungo gli assi e sull’asse \(z\) per i momenti: \[ \frac{l}{2}\cos\theta \cdot mg \hat{k} - l\cos\theta N_2 \hat{k} + l\sin\theta F_A^{(1)} \hat{k} = \vec{0} \] Si ottiene il sistema: \[ \begin{cases} F_A^{(1)} - mg + N_2 = 0 \\ N_1 - F_A^{(2)} = 0 \\ \frac{1}{2} \cos\theta mg + \sin\theta F_A^{(1)} - \cos\theta N_2 = 0 \end{cases} \qquad \text{con} \qquad \begin{cases} F_A^{(1)} = \mu_s^{(1)} N_1 \\ F_A^{(2)} = \mu_s^{(2)} N_2 \end{cases} \] Sostituendo le forze d’attrito: \[ \begin{cases} \mu_s^{(1)} N_1 - mg + N_2 = 0 \\ N_1 - \mu_s^{(2)} N_2 = 0 \\ \frac{1}{2} mg \cos\theta + (\mu_s^{(1)}\sin\theta - \cos\theta) N_2 = 0 \end{cases} \] Dalla seconda equazione si ricava \(N_1 = \mu_s^{(2)} N_2\). Sostituendo nella prima: \[ \mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)} N_2 + N_2 = mg \implies N_2 = \frac{mg}{1+\mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}} \implies N_1 = \frac{\mu_s^{(2)} mg}{1+\mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}} \] Sostituendo \(N_2\) nell’equazione dei momenti: \[ \frac{1}{2} \cos\theta mg - (\cos\theta - \mu_s^{(1)} \sin\theta) \frac{mg}{1+\mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}} = 0 \] Semplificando \(mg\) e portando a denominatore comune: \[ \frac{\cos\theta + \mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}\cos\theta - 2\cos\theta + 2\mu_s^{(1)}\sin\theta}{2(1+\mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)})} = 0 \] \[ 2 \mu_s^{(1)} \sin\theta = \cos\theta (1 - \mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}) \implies \tan\theta = \frac{1 - \mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}}{2 \mu_s^{(1)}} \implies \theta = \arctan \left( \frac{1 - \mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}}{2 \mu_s^{(1)}} \right) \]

Il momento angolare totale di un sistema di particelle rispetto all’origine \(O\) è: \[ \vec{L} = \sum_{i=1}^N \vec{L}_i = \sum_{i} \mathbf{r}_i \times \vec{P}_i = \sum_{i} \mathbf{r}_i \times m_i \vec{v}_i \] Applicando le trasformazioni di Galileo per il sistema di riferimento solidale al centro di massa: \[ \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_c + \mathbf{r}'_i \qquad \vec{v}_i = \vec{v}_c + \vec{v}'_i \] Sostituendo nell’espressione del momento angolare: \[ \vec{L} = \sum_{i} (\mathbf{r}_c + \mathbf{r}'_i) \times m_i (\vec{v}_c + \vec{v}'_i) = \sum_{i} \mathbf{r}_c \times m_i \vec{v}_c + \sum_{i} \mathbf{r}_c \times m_i \vec{v}'_i + \sum_{i} \mathbf{r}'_i \times m_i \vec{v}_c + \sum_{i} \mathbf{r}'_i \times m_i \vec{v}'_i \] Ricordando che \(M = \sum m_i\) e che, per definizione di centro di massa, si ha: \[ \vec{v}'_c = \frac{\sum m_i \vec{v}'_i}{M} = \vec{0}, \qquad \mathbf{r}'_c = \frac{\sum m_i \mathbf{r}'_i}{M} = \vec{0} \] I termini misti si annullano, restituendo: \[ \vec{L} = \mathbf{r}_c \times M \vec{v}_c + \sum_{i} \vec{L}'_i = \mathbf{r}_c \times M \vec{v}_c + \vec{L}' \]

Theorem 1.5 (Primo Teorema di König) Il momento angolare totale di un sistema è pari alla somma del momento angolare del centro di massa e del momento angolare intrinseco rispetto al centro di massa: \[ \vec{L} = \mathbf{r}_c \times M \vec{v}_c + \vec{L}' \]

Sviluppando analogamente l’energia cinetica totale del sistema \(T = \frac{1}{2} \sum m_i v_i^2\): \[ T = \frac{1}{2} \sum m_i (\vec{v}_c + \vec{v}'_i) \cdot (\vec{v}_c + \vec{v}'_i) = \frac{1}{2} \sum m_i v_c^2 + \frac{1}{2} \sum m_i v'^2_i + \sum m_i \vec{v}_c \cdot \vec{v}'_i \] Poiché il termine \(\sum m_i \vec{v}'_i = \vec{0}\), si ottiene: \[ T = \frac{1}{2} M v_c^2 + T' \]

Theorem 1.6 (Secondo Teorema di König) L’energia cinetica totale di un sistema è pari alla somma dell’energia cinetica di traslazione del centro di massa e dell’energia cinetica interna: \[ T = \frac{1}{2} M v_c^2 + T' \]

Exercise 1.29  

Applicando la seconda legge di Newton ai tre corpi, nell’ipotesi di moto accelerato: \[ \begin{cases} -m_2 g + \tau_2 = m_2 a \\ N_1 - m_1 g = 0 \\ -\tau_2 + \tau_3 = m_1 a \\ m_3 g - \tau_3 = m_3 a \end{cases} \implies \begin{cases} a = \frac{m_3 - m_2}{m_1 + m_2 + m_3} g \\ N_1 = m_1 g \\ \tau_2 = m_2 a + m_2 g \\ \tau_3 = m_3 g - m_3 a \end{cases} \] L’espressione dell’accelerazione si ottiene sommando le equazioni longitudinali del moto: \[ (m_3 - m_2)g = (m_1 + m_2 + m_3) a \implies a = \frac{m_3 - m_2}{m_1 + m_2 + m_3} g \] Le reazioni vincolari sulle carrucole sono: \[ R_2 = \sqrt{2} \tau_3, \qquad R_1 = \sqrt{2} \tau_2 \]

Exercise 1.30  

Imponendo l’equilibrio statico e considerando l’attrito statico massimo per determinare \(m_{MAX}\): \[ \begin{cases} N_1 - m_1 g = 0 \\ -\mu_s N_1 + \tau_1 = 0 \\ N_2 - m_2 g \cos\theta = 0 \\ -\tau_1 + \tau_2 - m_2 g \sin\theta - \mu_s N_2 = 0 \\ -\tau_2 + m_{MAX} g = 0 \end{cases} \] Sommando le equazioni per eliminare le tensioni \(\tau_1\) e \(\tau_2\): \[ -\mu_s N_1 - \mu_s N_2 - m_2 g \sin\theta + m_{MAX} g = 0 \] Sostituendo \(N_1 = m_1 g\) e \(N_2 = m_2 g \cos\theta\): \[ \mu_s m_1 g + \mu_s m_2 g \cos\theta + m_2 g \sin\theta = m_{MAX} g \implies m_{MAX} = \mu_s (m_1 + m_2 \cos\theta) + m_2 \sin\theta \]

\(m = 2m_{MAX}\) Applicando le equazioni del moto in presenza di attrito dinamico \(\mu_D\): \[ \begin{cases} N_1 - m_1 g = 0 \\ -\mu_D N_1 + \tau_1 = m_1 a \\ N_2 - m_2 g \cos\theta = 0 \\ -\mu_D N_2 - \tau_1 + \tau_2 - m_2 g \sin\theta = m_2 a \\ -\tau_2 + mg = ma \end{cases} \]

Exercise 1.31  

Dall’equazione cardinale per l’intero sistema: \[ \vec{F} = (m_1 + m_2) \vec{g} = (m_1 + m_2) \vec{a}_c \implies \vec{a}_c = \vec{g} \implies \begin{cases} a_{cy} = -g \\ a_{cx} = 0 \end{cases} \] L’ascissa del centro di massa è data da: \[ \mathbf{r}_c = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2} \implies x_c = \frac{m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 l \sin\theta_0}{m_1 + m_2} \] L’ampiezza delle oscillazioni è \(2x_c\). Imponendo la conservazione dell’energia meccanica \(E_i = E_f\): \[ E_i = -m_2 g l \cos\theta_0, \qquad E_f = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 - m_2 g l \] Si perviene al sistema: \[ \begin{cases} m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = 2m_2 g l (1 - \cos\theta_0) \\ v_{cx} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = 0 \end{cases} \]

Exercise 1.32  

Posto \(d = \frac{l\sqrt{3}}{2}\), \(m_1 = m_2 = m\), e \(m_3 = 2m\). Applicando la conservazione dell’energia \(E_i = E_f\): \[ E_i = T_i + U_i = 0 \] \[ E_f = T_f + U_f = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 + \frac{1}{2} m_3 v_3^2 - m_3 g \Delta h \] Dalla geometria del sistema, si ha \(h_1 = \frac{l}{2} \sin\theta\) e \(h_2 = \frac{l}{2}\), da cui la variazione di quota è \(\Delta h = h_1 - h_2 = -\frac{l}{2} (1 - \cos\theta)\). In virtù dei vincoli cinematici, \(v_1 = v_2 = v\) e \(v_3 = 0\). Sostituendo le masse e le velocità nell’espressione dell’energia finale: \[ E_f = m v^2 - 2mg \frac{l}{2} (1 - \cos\theta) \implies m v^2 = mg l (1 - \cos\theta) \] Dalla condizione geometrica \(d = l \sin\theta\), si ottiene \(\frac{l\sqrt{3}}{2} = l \sin\theta \implies \theta = \frac{\pi}{3}\). Pertanto, la velocità finale è: \[ v = \sqrt{g l (1 - \cos\theta)} = \sqrt{g l \left(1 - \frac{1}{2}\right)} = \sqrt{\frac{g l}{2}} \]

Exercise 1.33  

Analisi delle configurazioni statiche e dinamiche di un sistema di masse su un cuneo.

\[ \begin{cases} N_1 = m_1 g \cos\theta \\ \tau_1 - m_1 g \sin\theta = 0 \\ N_2 = m_2 g \\ -\tau_1 + \tau_2 = 0 \\ N_3 = m_3 g \cos\theta \\ -\tau_2 + m_3 g \sin\theta = 0 \end{cases} \implies (m_3 - m_1) g \sin\theta = 0 \implies m_1 = m_3 \]

\[ \vec{N} - \vec{N}_1 - \vec{N}_2 - \vec{N}_3 + m\vec{g} = \vec{0} \implies N = N_1 \sin\theta + N_2 + N_3 \sin\theta + mg \] \[ -N_3 \cos\theta + N_1 \cos\theta = 0 \implies (N_1 - N_3) \cos\theta = 0 \implies N_1 = N_3 \implies m_1 = m_3 \]

\[ \begin{cases} N_1 = m_1 g \cos\theta - m_1 A \sin\theta \\ -m_1 g \sin\theta + \tau_1 - m_1 A \cos\theta = 0 \\ N_2 = m_2 g \\ -\tau_1 + \tau_2 - m_2 A = 0 \\ N_3 = m_3 g \cos\theta + m_3 A \sin\theta \\ -\tau_2 + m_3 g \sin\theta - m_3 A \cos\theta = 0 \end{cases} \] Sommando le equazioni longitudinali: \[ -m_1 g \sin\theta - m_1 A \cos\theta - m_2 A + m_3 g \sin\theta - m_3 A \cos\theta = 0 \implies m_3 = \frac{m_1 g \sin\theta + m_1 A \cos\theta + m_2 A}{g \sin\theta - A \cos\theta} \]

\[ \begin{cases} N_1 = m_1 g \cos\theta - m_1 A \sin\theta \\ -m_1 g \sin\theta + \tau_1 - m_1 A \cos\theta = m_1 a_r \\ N_2 = m_2 g \\ -\tau_1 + \tau_2 - m_2 A = m_2 a_r \\ N_3 = m_3 g \cos\theta + m_3 A \sin\theta \\ -\tau_2 + m_3 g \sin\theta - m_3 A \cos\theta = m_3 a_r \end{cases} \]

Dall’equazione globale per l’accelerazione del centro di massa orizzontale: \[ F = mA + m_1 (A + a_r \cos\theta) + m_2 (A + a_r) + m_3 (A + a_r \cos\theta) \]

Exercise 1.34  

Equilibrio di un’asta poggiata tra un piano orizzontale e una parete verticale con attrito.

Imponendo l’annullamento della risultante delle forze e del momento risultante (calcolato rispetto all’origine \(O\)): \[ \vec{F}_A^{(1)} + \vec{N}_1 + m\vec{g} + \vec{F}_A^{(2)} + \vec{N}_2 = \vec{0} \] \[ \vec{M}_0 = \mathbf{r}_c \times m\vec{g} + \mathbf{r}_B \times \vec{N}_2 + \mathbf{r}_A \times \vec{F}_A^{(1)} + \mathbf{r}_B \times \vec{F}_A^{(2)} + \mathbf{r}_A \times \vec{N}_1 = \vec{0} \] Proiettando le forze sugli assi cartesiani e calcolando i momenti rispetto all’origine (polo \(O\)): \[ \begin{cases} N_1 - F_A^{(2)} = 0 \\ F_A^{(1)} + N_2 - mg = 0 \\ \left( \frac{l}{2}\cos\theta \right) (-mg) + (l\cos\theta) N_2 - (l\sin\theta) F_A^{(1)} = 0 \end{cases} \] Condizione limite di scivolamento: \(F_A^{(1)} = \mu_s^{(1)} N_1\) e \(F_A^{(2)} = \mu_s^{(2)} N_2\). Sostituendo nel sistema di forze: \[ \begin{cases} N_1 = \mu_s^{(2)} N_2 \\ \mu_s^{(1)} N_1 + N_2 = mg \end{cases} \implies \mu_s^{(1)} (\mu_s^{(2)} N_2) + N_2 = mg \implies N_2 = \frac{mg}{1+\mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}} \] Dalla prima equazione: \(N_1 = \frac{\mu_s^{(2)} mg}{1+\mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}}\). Dall’equazione di bilancio dei momenti fornita: \[ \frac{1}{2} mg \cos\theta + (\mu_s^{(1)}\sin\theta - \cos\theta) N_2 = 0 \] Sostituendo \(N_2\): \[ \frac{1}{2} mg \cos\theta - (\cos\theta - \mu_s^{(1)} \sin\theta) \frac{mg}{1+\mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}} = 0 \] Dividendo per \(mg/2\) e portando a denominatore comune: \[ \frac{\cos\theta(1+\mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}) - 2(\cos\theta - \mu_s^{(1)} \sin\theta)}{1+\mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}} = 0 \] \[ \cos\theta + \mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}\cos\theta - 2\cos\theta + 2\mu_s^{(1)}\sin\theta = 0 \implies 2 \mu_s^{(1)} \sin\theta = \cos\theta (1 - \mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}) \] Dividendo per \(\cos\theta\): \[ \tan\theta = \frac{1 - \mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}}{2 \mu_s^{(1)}} \implies \theta = \arctan \left( \frac{1 - \mu_s^{(1)}\mu_s^{(2)}}{2 \mu_s^{(1)}} \right) \]

Il momento angolare infinitesimo generato da una massa elementare \(dm = \rho dV\) in rotazione con velocità angolare \(\vec{w}\) è: \[ d\vec{L} = \mathbf{r} \times \vec{v} dm, \qquad \text{essendo} \quad \vec{v} = \vec{w} \times \mathbf{r} \] \[ d\vec{L} = dm \mathbf{r} \times (\vec{w} \times \mathbf{r}) \] Scomponendo il vettore posizione \(\mathbf{r} = \mathbf{r}_{\parallel} + \mathbf{r}_\perp\) rispetto all’asse di rotazione: \[ \vec{w} \times \mathbf{r} = \vec{w} \times (\mathbf{r}_{\parallel} + \mathbf{r}_\perp) = \vec{w} \times \mathbf{r}_\perp \] Sviluppando il doppio prodotto vettoriale in componenti cartesiane \(\vec{w} \equiv (w_x, w_y, w_z)\) e \(\mathbf{r} \equiv (x, y, z)\): \[ \vec{w} \times \mathbf{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ w_x & w_y & w_z \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z w_y - y w_z) \hat{i} + (x w_z - z w_x) \hat{j} + (y w_x - x w_y) \hat{k} \] \[ \mathbf{r} \times (\vec{w} \times \mathbf{r}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ z w_y - y w_z & x w_z - z w_x & y w_x - x w_y \end{vmatrix} \] Le componenti del momento angolare infinitesimo risultano: \[\begin{align*} dL_x &= dm \left[ y(y w_x - x w_y) - z(x w_z - z w_x) \right] = dm (y^2 + z^2) w_x - dm x y w_y - dm x z w_z \\ dL_y &= dm \left[ z(z w_y - y w_z) - x(y w_x - x w_y) \right] = -dm x y w_x + dm (x^2 + z^2) w_y - dm y z w_z \\ dL_z &= dm \left[ x(x w_z - z w_x) - y(z w_y - y w_z) \right] = -dm x z w_x - dm y z w_y + dm (x^2 + y^2) w_z \end{align*}\] Integrando sull’intero volume \(V\), si definiscono gli elementi del tensore (matrice) d’inerzia:

La relazione tra momento angolare e velocità angolare assume la forma matriciale: \[ \begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{pmatrix} \implies \vec{L} = \underline{I} \vec{w} \] ::: {#rem-osservazione} La matrice d’inerzia \(\underline{I}\) è reale e simmetrica (\(I_{xy} = I_{yx}\)), pertanto è sempre diagonalizzabile. Esiste una terna di assi cartesiani ortogonali (Assi Principali d’Inerzia) solidale al corpo rispetto alla quale la matrice è diagonale. Se la rotazione avviene lungo uno di questi assi (es. \(\vec{w} = w_u \hat{u}\)), i vettori \(\vec{L}\) e \(\vec{w}\) sono paralleli: \(L_u = I_{uu} w_u\). :::

L’energia cinetica rotazionale pura attorno ad un asse fisso è: \[ T = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2 = \sum_i \frac{1}{2} m_i (\omega r_i)^2 = \frac{1}{2} \omega^2 \sum_i m_i r_i^2 = \frac{1}{2} I \omega^2 \] Per un corpo rigido in moto generale, le leggi di conservazione e la dinamica si esprimono tramite i teoremi di König: \[ \begin{cases} \vec{L} = \mathbf{r}_c \times M \vec{v}_c + \underline{I}_c \vec{w} \\ T = \frac{1}{2} M v_c^2 + \frac{1}{2} \vec{w} \cdot (\underline{I}_c \vec{w}) \end{cases} \]

Exercise 1.35  

Calcolo del momento d’inerzia di un’asta omogenea di massa \(M\) e lunghezza \(L\) rispetto a un asse trasversale passante per il centro di massa.

Con densità lineare costante \(\lambda = \frac{M}{L}\), l’elemento di massa è \(dm = \lambda dx\). \[ I_y = \int_{-L/2}^{L/2} x^2 dm = \int_{-L/2}^{L/2} x^2 \lambda dx = \lambda \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-L/2}^{L/2} = \frac{M}{3L} \left( \frac{L^3}{8} - \left(-\frac{L^3}{8}\right) \right) = \frac{M}{3L} \frac{L^3}{4} = \frac{1}{12} M L^2. \]

Exercise 1.36  

Calcolo del momento d’inerzia di una lastra rettangolare omogenea di lati \(a\) e \(b\) rispetto all’asse \(z\) passante per il centro di massa.

La densità superficiale è \(\sigma = \frac{M}{ab}\). \[\begin{align*} I_z &= \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-a/2}^{a/2} (x^2 + y^2) \sigma dx dy = \sigma \left[ \int_{-b/2}^{b/2} dy \int_{-a/2}^{a/2} x^2 dx + \int_{-a/2}^{a/2} dx \int_{-b/2}^{b/2} y^2 dy \right] \\ &= \sigma \left[ b \left(\frac{a^3}{12}\right) + a \left(\frac{b^3}{12}\right) \right] = \frac{M}{12ab} (a^3b + ab^3) = \frac{1}{12} M (a^2 + b^2). \end{align*}\]

Exercise 1.37  

Calcolo del momento d’inerzia di un disco omogeneo sottile di raggio \(R\) rispetto al centro.

Densità superficiale \(\sigma = \frac{M}{\pi R^2}\), elemento di area in coordinate polari \(dS = r dr d\theta\). \[ I_z = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \sigma r dr d\theta = \sigma \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r^3 dr = \left( \frac{M}{\pi R^2} \right) (2\pi) \left( \frac{R^4}{4} \right) = \frac{1}{2} MR^2. \]

Exercise 1.38  

Calcolo del momento d’inerzia di una sfera omogenea di raggio \(R\) rispetto all’asse \(z\).

Densità volumica \(\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\). In coordinate sferiche, la distanza dall’asse \(z\) è \(r\sin\theta\). Elemento di volume \(dV = r^2\sin\theta dr d\theta d\varphi\). \[\begin{align*} I_z &= \int_V (r\sin\theta)^2 \rho dV = \rho \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^\pi \sin^3\theta d\theta \int_0^R r^4 dr \\ &= \rho (2\pi) \left[ \int_0^\pi \sin\theta (1-\cos^2\theta) d\theta \right] \left( \frac{R^5}{5} \right) = \rho (2\pi) \left( \frac{4}{3} \right) \left( \frac{R^5}{5} \right) \\ &= \left( \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right) \frac{8\pi R^5}{15} = \frac{2}{5} MR^2. \end{align*}\]

es 4.16]

1. \[ m_B g h = \frac{1}{2} m_A v_A^2 + \frac{1}{2} m_B v_B^2 + m_A g h \quad \quad \quad \quad v_A = v_B = v \] \[ \frac{1}{2} (m_A + m_B) v^2 = (m_B - m_A) g h \quad \quad \quad v = \sqrt{\frac{2(m_B - m_A)gh}{m_A + m_B}} \]
2. \[ U_i = U_B = m_B g h \quad , \quad U_f = \frac{1}{2} (m_A + m_B) v^2 + \frac{1}{2} I w^2 + m_A g h \quad \quad \quad , \quad v = w r \] \[ \frac{1}{2} \left( m_A + m_B + \frac{I}{r^2} \right) v^2 = (m_B - m_A) g h \quad \quad \quad v = \sqrt{\frac{2(m_B - m_A)gh}{m_A + m_B + \frac{I}{r^2}}} \]

\[ \begin{cases} \vec{F} = m\vec{a}_c \\ \vec{M}_0 = \frac{d\vec{L}_0}{dt} \end{cases} \quad \quad \begin{cases} N - mg = 0 \\ \vec{L}_0 = \text{costante} \end{cases} \] \[ \vec{M}_0 = \vec{0} \quad \quad L_0 = I_0 w \Rightarrow w = \text{cost} \]

\[ \vec{M}_0 = \mathbf{r}_G \times m\vec{g} = -m g r_G \sin\theta \hat{k} \quad , \quad \vec{L}_0 = I_0 \dot{\theta} \hat{k} \] \[ \vec{M}_0 = \frac{d\vec{L}_0}{dt} = \frac{d}{dt} (I_0 \dot{\theta} \hat{k}) = I_0 \ddot{\theta} \hat{k} \] \[ - m g r_G \sin\theta = I_0 \ddot{\theta} \quad , \quad \ddot{\theta} + \frac{m g r_G \sin\theta}{I_0} = 0 \] \[ \ddot{\theta} + \frac{m g r_G}{I_0} \theta = 0 \quad \text{oscillatore armonico} \quad w = \sqrt{\frac{m g r_G}{I_0}} \quad , \quad T = \frac{2\pi}{w} = 2\pi \sqrt{\frac{I_0}{m g r_G}} \] \(\uparrow\) PENDOLO FISICO \[ v_c = w r_G \] \[ \theta(t) = A \sin(wt) + B \cos(wt) \] \[ \dot{\theta}(t) = w A \cos(wt) - w B \sin(wt) \quad \quad \quad \theta(0) = \theta_0 \quad A w = 0 \quad A = 0 \] \[ \theta(t) = \theta_0 \cos wt \quad , \quad \dot{\theta}(t) = -\theta_0 w \sin wt \quad , \quad v_c(t) = \dot{\theta}(t) r_G = -\theta_0 w r_G \sin wt \]

TEOR. DI HUYGENS-STEINER \(G // O\) \(G \text{ passa per il centro di massa}\)

\[ I_0 = \int_V (x^2 + y^2) \rho dV \quad \quad \quad x = d + x' \quad , \quad y = y' \] \[ \begin{cases} x = x' \\ y = d + y' \end{cases} \] \[ I_0 = \int_V (x^2 + y^2) \rho dV = \int_V [x'^2 + (d + y')^2] \rho dV = \int_V (x'^2 + y'^2) \rho dV + \int_V d^2 \rho dV + 2 \int_V d y' \rho dV \] \[ = I_G + d^2 \int_V \rho dV + 2d \int_V y' \rho dV = I_G + d^2 M \] \[ I_0 = I_G + d^2 M \]

ES. 6.24]

\[ C_1 \equiv \left( 0, \frac{a}{2} \right) \quad \quad \quad C_2 \equiv \left( 0, \frac{3}{2} a \right) \] \[ \mathbf{r}_c = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2} = \quad \quad \quad m_2 = 3 m_1 \] \[ = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + 3 m_1 \mathbf{r}_2}{4 m_1} = \frac{\mathbf{r}_1 + 3 \mathbf{r}_2}{4} \] \[ X_c = 0 \quad , \quad z_c = \frac{\frac{a}{2} + \frac{9}{2} a}{4} = \frac{5}{4} a \quad \quad \quad C \equiv \left( 0, \frac{5}{4} a \right) \]

per piccole oscillazioni \[ \ddot{\theta} + \frac{m g r_G}{I_0} \theta = 0 \quad , \quad w = \sqrt{\frac{m g r_G}{I_0}} \quad , \quad T = \frac{2\pi}{w} = 2\pi \sqrt{\frac{I_0}{m g r_G}} \] \[ r_G = \frac{5}{4} a \quad , \quad I_0 = I_0^{(1)} + I_0^{(2)} = m \frac{a^2}{4} + I_c^{(1)} + 3m \frac{a^2}{4} + I_c^{(2)} = \] \[ = m \frac{a^2}{4} + m \frac{a^2}{6} + \frac{27}{4} m a^2 + \frac{5}{2} m a^2 \]

ROTOLAMENTO

\[ \vec{v}_p = \vec{v}_c + \vec{w} \times \mathbf{r} \]

\[ \vec{v}_c = - \vec{w} \times \mathbf{r} \quad \Rightarrow \text{ puro rotolamento } \]

\[ T = \frac{1}{2} m v_c^2 + \frac{1}{2} I_c w^2 \quad , \quad |\vec{v}_c| = w r \quad \quad \quad T = \frac{1}{2} m r^2 w^2 + \frac{1}{2} I_c w^2 = \] \[ = \frac{1}{2} (m r^2 + I_c) w^2 = \frac{1}{2} I_p w^2 \] \(\uparrow\) TEOR. HUYGENS-STEINER

es 6.41]

\[ \begin{cases} \vec{N} + m\vec{g} + \vec{F} + \vec{F}_A = m\vec{a}_c \\ \vec{M}_p = \mathbf{r}_c \times m\vec{g} + \mathbf{r}_c \times \vec{F} = \mathbf{r}_c \times \vec{F} = - r F \hat{k} \\ \vec{M}_p = \frac{d\vec{L}_p}{dt} = \frac{d}{dt} (I_p \dot{\theta} \hat{k}) = I_p \ddot{\theta} \hat{k} \end{cases} \] \[ v_c = - w r \quad , \quad v_c = -\dot{\theta} r \quad , \quad \ddot{\theta} = -\frac{a_c}{r} \quad , \quad -r F = I_p \ddot{\theta} \] \[ -r F = -I_p \frac{a_c}{r} \quad , \quad a_c = \frac{r^2}{I_p} F \] \[ \begin{cases} N - mg = 0 \\ F - F_A = m a_c \end{cases} \quad \quad \quad \begin{cases} N = mg \\ F_A = F - m a_c \end{cases} \] \[ F_A = F - m \frac{r^2}{I_p} F = F \left( \frac{I_p - mr^2}{I_p} \right) = F \left( \frac{mr^2 + I_c - mr^2}{mr^2 + I_c} \right) = F \left( \frac{I_c}{mr^2 + I_c} \right) \] \[ F_A \le \mu_s N \Rightarrow F \left( \frac{I_c}{mr^2 + I_c} \right) \le \mu_s mg \] \[ F \le \frac{\mu_s mg (mr^2 + I_c)}{I_c} \] in un disco: \[ F \le \frac{\mu_s mg \left( mr^2 + \frac{mr^2}{2} \right)}{\frac{mr^2}{2}} = 3 \mu_s mg \]

es 6.41] \(m_2 = \frac{m_1}{2}\)

\[ v_1 = 2 v_2 \quad \quad \quad \frac{3 v_{ix}}{2 l} = \pi \] \[ \begin{cases} \vec{F} = m \vec{a}_c \\ \vec{M}_0 = \frac{d\vec{L}_0}{dt} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \vec{a}_c = \vec{0} \\ \vec{L}_0 = \text{costante} \end{cases} \] \[ \vec{v}_c = \vec{v}_{c0} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2} \quad , \quad v_{cx} = 0 \quad , \quad v_{cy} = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{2v_1 - v_2}{3} = \] \[ = \frac{2v_1 - \frac{v_1}{2}}{3} = \frac{\frac{3}{2} v_1}{3} = \frac{v_1}{2} \] \[ \begin{cases} v_{cx} = 0 \\ v_{cy} = \frac{v_1}{2} \end{cases} \quad : \quad \begin{cases} x_c(t) = x_c^{(0)} \\ y_c(t) = \frac{v_1}{2} t + y_c^{(0)} \end{cases} \] \[ \mathbf{r}_c = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2} \quad , \quad X_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_2}{m_1 + m_2} l = \frac{l}{3} \] \[ y_c^{(0)} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = 0 \] \[ \vec{L}_c^{(0)} = \vec{L}_{(c)}^{(0)} = \vec{d}_1 \times m_1 \vec{v}_1 + \vec{d}_2 \times m_2 \vec{v}_2 = -\frac{l}{3} m_1 v_1 \hat{k} - \frac{2}{3} l m_2 v_2 \hat{k} = \] \[ = - \left( \frac{l}{3} 2 m_2 v_1 + \frac{2}{3} l \frac{m_1}{2} \frac{v_1}{2} \right) \hat{k} = - l m_1 v_1 \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{6} \right) \hat{k} = - \frac{5}{6} l m_1 v_1 \hat{k} \] \[ L_c = I_c w \quad , \quad w = \frac{L_c}{I_c} \] \[ I_c = m_1 \frac{l^2}{9} + m_2 \frac{4}{9} l^2 = m_1 \frac{l^2}{9} + \frac{m_1}{2} \frac{4}{9} l^2 = \frac{1}{3} m_1 l^2 \] \[ \vec{w} = \frac{-\frac{5}{6} l m_1 v_1}{\frac{1}{3} m_1 l^2} \hat{k} = -\frac{5}{2} \frac{v_1}{l} \hat{k} \] \[ \begin{cases} x_1 = x_c - \frac{l}{3} \cos wt \\ y_1 = y_c + \frac{l}{3} \sin wt \end{cases} \quad \quad \quad \quad \begin{cases} x_2 = x_c + \frac{2}{3} l \cos wt \\ y_2 = y_c - \frac{2}{3} l \sin wt \end{cases} \]

URTI forze esterne trascurabili, durante l’urto il sistema è isolato \[ \begin{cases} I_1 = \Delta p_1 = m_1 v_{1f} - m_1 v_{1i} \\ -I_2 = \Delta p_2 = m_2 v_{2f} - m_2 v_{2i} \end{cases} \quad \quad \quad I_1 = -I_2 \text{ dalla terza legge della dinamica} \] \[ I = \int_{0}^{t} f_i(t) dt \] \[ \Delta p_1 + \Delta p_2 = 0 \quad \Rightarrow \text{ la quantità di moto in un urto si conserva} \] nell’urto elastico si conserva l’energia cinetica T \[ \begin{cases} (1) \vec{p}_{1i} + \vec{p}_{2i} = \vec{p}_{1f} + \vec{p}_{2f} \\ (2) T_{1i} + T_{2i} = T_{1f} + T_{2f} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} \\ \frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} m_1 (v_{1i} - v_{1f}) = m_2 (v_{2f} - v_{2i}) \\ m_1 (v_{1i}^2 - v_{1f}^2) = m_2 (v_{2f}^2 - v_{2i}^2) \end{cases} \] \[ \begin{cases} m_1 (v_{1i} - v_{1f}) = m_2 (v_{2f} - v_{2i}) \\ m_1 (v_{1i} - v_{1f})(v_{1i} + v_{1f}) = m_2 (v_{2f} - v_{2i})(v_{2f} + v_{2i}) \end{cases} \] \[ v_{1i} + v_{1f} = v_{2i} + v_{2f} \] \[ \begin{cases} v_{1f} = \frac{(m_1 - m_2) v_{1i} + 2 m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2} \\ v_{2f} = \frac{(m_2 - m_1) v_{2i} + 2 m_1 v_{1i}}{m_1 + m_2} \end{cases} \]

In un urto completamente anelastico l’energia cinetica non si conserva

\[ \begin{cases} P_i = m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} \\ P_f = (m_1 + m_2) v_f \end{cases} \quad \quad \quad v_f = \frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2} \]

In un piano :

\[ \begin{cases} m_1 v_{1i} = m_1 v_{1f} \cos\theta_1 + m_2 v_{2f} \cos\theta_2 \\ 0 = -m_1 v_{1f} \sin\theta_1 + m_2 v_{2f} \sin\theta_2 \\ \frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2 \end{cases} \] se \(m_1 = m_2\) \[ \begin{cases} v_{1i} = v_{1f} \cos\theta_1 + v_{2f} \cos\theta_2 \\ 0 = -v_{1f} \sin\theta_1 + v_{2f} \sin\theta_2 \\ v_{1i}^2 = v_{1f}^2 + v_{2f}^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2} , \text{ le direzioni sono perpendicolari} \]

es] \(v_{1i} = 1.5 \text{ m/s}\) \(v_{2i} = 0\) \(v_{1f} = 0.6 \text{ m/s}\) \(\theta_1 = 66^\circ\) \(m = 7 \text{ kg}\) \(v_{2f} = ? \quad (1.37 \text{ m/s})\) \(\theta_2 = ?\)

PENDOLO BALISTICO urto completamente anelastico

\[ m v_0 = (m + M) v_f \quad \Rightarrow \quad v_f = \frac{m}{m + M} v_0 \quad , \quad K_f = \frac{1}{2} (M + m) v_f^2 \] \[ K_f = \frac{1}{2} (m + M) \frac{m^2}{(m + M)^2} v_0^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 \frac{m}{m + M} = (M + m) g h \] \[ h = \left( \frac{m}{m + M} \right)^2 \frac{v_0^2}{2g} \]

FLUIDI stati di aggregazione della materia le particelle non sono legate in modo rigido È ideale quando la densità è costante in funzione della pressione \(P = \frac{dF_N}{dS}\) pressione è uno scalare in quanto la forza è un vettore ortogonale \([Pa] = \left[ \frac{N}{m^2} \right]\) LEGGE DI PASCAL] la pressione agisce in modo uguale in tutte le direzioni ed è perpendicolare alla superficie sulla quale si esercita STATICA DEI FLUIDI

densità costante in quiete \[ \vec{G} = (G_x, G_y, G_z) \] \[ \sum \vec{F}_i = d\vec{F}^{(s)} + d\vec{F}^{(v)} \] \[ \sum \vec{F}_i = \vec{0} , \quad d\vec{F}_{EFGH}^{(s)} - d\vec{F}_{ABCD}^{(s)} + d\vec{F}_y^{(v)} = 0 \quad , \quad d\vec{F}_y^{(v)} = G_y dm = G_y \rho dV = G_y \rho dx dy dz \] \[ dF^{(s)} = P(x, y, z) dS = P(x, y, z) dx dz \]

\[ P(x, y, z) dx dz - P(x, y+dy, z) dx dz + G_y \rho dx dy dz = 0 \] dalla def. di derivata parziale : \[ \frac{P(x, y+dy, z) - P(x, y, z)}{dy} = \frac{\partial P}{\partial y} \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \rho G_y \]

EQUAZIONI DELLA STATICA DEI FLUIDI] \[ \begin{cases} \frac{\partial P}{\partial x} = \rho G_x \\ \frac{\partial P}{\partial y} = \rho G_y \\ \frac{\partial P}{\partial z} = \rho G_z \end{cases} \] se siamo nel campo di gravità : \(\vec{G} = \vec{g} (0, 0, -g)\) \[ \begin{cases} \frac{\partial P}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial P}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial P}{\partial z} = -\rho g \quad \Rightarrow \quad \frac{dP}{dz} = -\rho g \Rightarrow dP = -\rho g dz \Rightarrow \text{integro a destra e sinistra in 2 punti del campo A e B} \end{cases} \] nel campo di gravità \[ \int_A^B dP = -\rho g \int_A^B dz \quad \Rightarrow \quad P_B - P_A = -\rho g (z_B - z_A) = -\rho g h \] \[ P_A = P_B + \rho g h \]

LEGGE DI STEVINO] \(P_A = P_B + \rho g h\) es] la pressione atmosferica \(10^5 \text{ Pa} \simeq 1 \text{ Atm}\)

ESPERIMENTO DI TORRICELLI

\[ P_0 = \rho g h = (13.6 \times 10^3) \frac{kg}{m^3} \times 9.81 \frac{m}{s^2} \times 0.76 \text{ m} = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa} \]

EQUAZIONE BAROMETRICA \[ \rho = \frac{m}{V} \quad , \quad PV = nRT \quad , \quad \frac{P}{\rho} = \text{cost} \quad , \quad \frac{P_0}{\rho_0} = \frac{P(z)}{\rho(z)} \] \[ \rho(z) = \rho_0 \frac{P(z)}{P_0} \] da Stevino \(dP = -\rho(z) g dz = -\rho_0 \frac{P(z)}{P_0} g dz\) \[ \frac{dP}{P(z)} = -\frac{\rho_0 g}{P_0} dz \quad , \quad \int \frac{dP}{P(z)} = -\int \frac{\rho_0 g}{P_0} dz \quad , \quad \log P = -\frac{\rho_0 g}{P_0} z + c \] \[ P = A e^{-\frac{\rho_0 g}{P_0} z} \quad \quad \quad z = 0 , \quad P = P_0 \Rightarrow A = P_0 \] \[ P(z) = P_0 e^{-\frac{\rho_0 g}{P_0} z} \]

\[ F_B = P_B \cdot S = (P_A + \rho g h) S \quad , \quad F_A = P_A S \] \[ F_{TOT} = F_B - F_A = - P_A S + P_A S + \rho_L g h S = \rho_L g V \] \[ P = mg = \rho_c V g = \rho_L V g \quad \text{equilibrio} \] \[ \rho_c < \rho_L \quad \text{galleggia} \] \[ \rho_c > \rho_L \quad \text{affonda} \]

\[ V_e = \text{Volume emerso} \quad \quad \quad \quad \rho_c = \text{densità ghiaccio} \] \[ V_i = \text{Volume immerso} \quad \quad \quad \quad \rho_L = \text{densità mare} \]

\[ \rho_c = (V_i + V_e) g = \rho_L V_i g \quad , \quad \frac{V_i + V_e}{V_i} \cdot \frac{\rho_c}{\rho_L} = 1 + \frac{V_e}{V_i} \quad , \quad 1 + \frac{V_e}{V_i} = \frac{\rho_L}{\rho_c} \] \[ \left[ \frac{V_e}{V_i} \right] = \frac{\rho_L}{\rho_c} - 1 = \left[ \frac{\rho_L - \rho_c}{\rho_c} \right] \] \[ \frac{V_e}{V_{TOT}} = \frac{V_e}{V_i + V_e} = \frac{\frac{V_e}{V_i}}{1 + \frac{V_e}{V_i}} = \frac{\frac{\rho_L - \rho_c}{\rho_c}}{1 + \frac{\rho_L - \rho_c}{\rho_c}} = \frac{\frac{\rho_L - \rho_c}{\rho_c}}{\frac{\rho_c + \rho_L - \rho_c}{\rho_c}} = \frac{\rho_L - \rho_c}{\rho_c} \cdot \frac{\rho_c}{\rho_L} = \frac{\rho_L - \rho_c}{\rho_L} \] \[ \frac{V_e}{V_{TOT}} = \frac{\rho_L - \rho_c}{\rho_L} = 0.11 \Rightarrow 11\% \] \[ \rho_c = 916 \text{ kg/m}^3 \quad , \quad \rho_L = 1020 \text{ kg/m}^3 \]

\[ U = U(x, y, z) \quad \quad \quad \vec{G} = (0, 0, -g) \] \[ G_x = -\frac{\partial U}{\partial x} \quad , \quad G_y = -\frac{\partial U}{\partial y} \quad , \quad G_z = -\frac{\partial U}{\partial z} \] \[ \begin{cases} \frac{\partial P}{\partial x} = \rho G_x = -\rho \frac{\partial U}{\partial x} \\ \frac{\partial P}{\partial y} = \rho G_y = -\rho \frac{\partial U}{\partial y} \\ \frac{\partial P}{\partial z} = \rho G_z = -\rho \frac{\partial U}{\partial z} \end{cases} \] \[ \Rightarrow \begin{cases} \frac{\partial P}{\partial y} = \rho G_y = -\rho \frac{\partial U}{\partial y} \\ \frac{\partial P}{\partial z} = \rho G_z = -\rho \frac{\partial U}{\partial z} \end{cases} \] \[ dP = -\rho dU \] In un campo conservativo, la variazione di pressione dipende soltanto dalla differenza di energia potenziale delle forze di volume fra due punti PRINCIPIO DI PASCAL \[ \rho_1 = \rho_2 \quad , \quad \frac{F_A}{S_A} = \frac{F_B}{S_B} \Rightarrow F_B = F_A \frac{S_B}{S_A} \]

(non ci sono attriti) \[ dm_1 = dm_2 \] conservazione della massa \[ dm_1 = \rho_1 dV_1 = \rho_1 S_1 dx_1 = \rho_1 S_1 v_1 dt \] \[ dm_2 = \rho_2 dV_2 = \rho_2 S_2 dx_2 = \rho_2 S_2 v_2 dt \] \[ \rho_1 S_1 v_1 dt = \rho_2 S_2 v_2 dt \quad , \quad S_1 v_1 = S_2 v_2 \quad , \quad Q = V_S = \text{costante} \quad \text{EQ. DI CONTINUITÀ} \]

BERNOULLI TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA \[ d L_P = \text{lavoro dovuto alle forze di pressione} \] \[ d L_g = \text{lavoro dovuto alle forze di gravità (en. potenziale)} \] \[ d T = \text{energia cinetica} \] \[ d L_g = dU = dm g h = dm g (z_1 - z_2) \] \[ dT = T_f - T_i = \frac{1}{2} dm v_2^2 - \frac{1}{2} dm v_1^2 = \frac{1}{2} dm (v_2^2 - v_1^2) \] \[ d L_p = F_1 dx_1 - F_2 dx_2 = F_1 v_1 dt - F_2 v_2 dt = P_1 V_1 ds_1 dt - P_2 V_2 ds_2 dt = P_1 \frac{dm}{\rho} - P_2 \frac{dm}{\rho} \] \[ dm g (z_1 - z_2) + P_1 \frac{dm}{\rho} - P_2 \frac{dm}{\rho} = \frac{1}{2} dm (v_2^2 - v_1^2) \] \[ \rho g z_1 - \rho g z_2 + P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 - \frac{1}{2} \rho v_1^2 \] \[ P_1 + \rho g z_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g z_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \] \[ P + \rho g z + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{costante} \] es] ala di un aereo \(z_1 \simeq z_2\) \[ Bernoulli \Rightarrow P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \quad , \quad P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) \quad , \quad \Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) \] \[ F = \Delta P \cdot S \quad \quad \quad \Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) \] \(\uparrow\) portanza es]

\(z_1 = z_2\) arteria e colesterolo \[ v_1 = 15 \text{ cm/s} \quad , \quad v_2 = ? \quad , \quad \Delta P = ? \] \[ v_1 S_1 = v_2 S_2 \quad ; \quad v_2 = \frac{v_1 S_1}{S_2} = v_1 \left( \frac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2} \right) \quad \quad v_1 = 9.15 \] \[ v_2 = 9.37 \]

\[ r_1 = \frac{d_1}{2} = 0.55 \text{ cm} \quad ; \quad r_2 = \frac{d_2}{2} = 0.375 \text{ cm} \] \[ \Rightarrow v_2 = 33 \text{ cm/s} \quad \Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) \] \[ A = \frac{1}{2} 1060 (0.33^2 - 0.15^2) = 46 \text{ Pa} \] es] \[ m = 1350 \text{ Kg} \quad \quad \Rightarrow \text{peso } = 13243 \text{ N} \] \[ S = 16.2 \text{ m}^2 \] \[ \rho = 1.2 \text{ kg/m}^3 \quad , \quad \underbrace{\Delta P \times S}_{= 2900 \text{ N}} \quad , \quad \Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} \cdot 1.2 (4900 - 3600) = 1800 \text{ Pa} \] LIQUIDO IDEALE \[ F_1^{(s)} = P_1 S_1 - P_2 S_2 = (P_1 - P_2) \pi r^2 = \Delta P \pi r^2 \]

\[ A = \eta \frac{dv}{dr} 2 \pi r l \] risultante delle forze : \(\Delta P \pi r^2 + \eta \frac{dv}{dr} 2 \pi r l = 0\) \[ \frac{dv}{dr} = - \frac{\Delta P}{2 \eta l} r \quad \quad \Rightarrow r = 0 \quad v \text{ è } max \quad , \quad r = R \quad v \text{ è } minima \] \[ \int_{v(0)}^{v(r)} dV = - \int_{0}^{r} \frac{\Delta P}{2 \eta l} r dr \quad \quad \quad \quad \quad \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^r \] \[ v(r) - v(0) = - \frac{\Delta P}{2 \eta l} \int_{0}^{r} r dr = - \frac{\Delta P}{2 \eta l} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^r \] \[ v(r) - v(0) = - \frac{\Delta P}{4 \eta l} r^2 \quad \quad v(0) \text{ è la velocità sull'asse del condotto} \] \[ v(R) = 0 = v(0) - \frac{\Delta P}{4 \eta l} R^2 \rightarrow v(0) = \frac{\Delta P}{4 \eta l} R^2 \quad , \quad v(r) = - \frac{\Delta P}{4 \eta l} (R^2 - r^2) \]

\[ dQ = v(r) dS = v(r) 2 \pi r dr \] \[ \int dQ = \int_{0}^{R} v(r) 2 \pi r dr \quad , \quad Q = \frac{\Delta P}{4 \eta l} 2 \pi \int_{0}^{R} (R^2 - r^2) r dr \] \[ Q = \frac{\Delta P}{2 \eta l} \pi \left[ \frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{\pi}{8} \frac{\Delta P R^4}{\eta l} \quad \quad \quad \text{LEGGE DI POISEUILLE} \] FENOMENI TERMICI tre grandezze fondamentali, Pressione (Pa), Volume (m\(^3\)), Temperatura (K) \[ 273.16 \text{ K} = 0^\circ \text{C} \] \(0 \text{ K} = -273.16^\circ \text{C} \rightarrow\) zero assoluto \[ t_F = 32 + \frac{9}{5} t_c \quad \quad \quad 0^\circ \text{C} \rightarrow 32^\circ \text{F} \quad , \quad 100^\circ \text{C} \rightarrow 212^\circ \text{C} \] \[ PV = nRT \] \[ T = \text{cost} \] \(\searrow\) gravità trascurabile \(\rightarrow\) le molecole si muovono di moto rettilineo uniforme Volume di ogni molecola è trascurabile rispetto al volume del contenitore Dimensione delle molecole è trascurabile rispetto alla distanza di esse Si muovono in modo casuale e obbediscono alle leggi di Newton L’urto tra le pareti e le molecole è di tipo elastico Dimostriamo che la pressione esercitata da un gas è dovuta all’urto delle molecole con le pareti del contenitore

\[ P_{ix} = -m v_x \quad \quad \Delta P = P_i - P_f = 2 m v_x \] \[ P_{fx} = m v_x \] PRESSIONE \[ P = \frac{F}{A} \quad , \quad F = ma = m \frac{dv}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = \frac{dP_f}{dt} \quad , \quad dP = F dt \] \[ v = \frac{ds}{dt} \quad \Rightarrow \quad dt = \frac{ds}{v} \quad , \quad t = \frac{2L}{v_x} \] \[ F = \frac{\Delta P}{dt} = \frac{2 m v_x}{\frac{2L}{v_x}} = \frac{m v_x^2}{L} \] La funzione di distribuzione della velocità è omogenea \[ v_{qm}^2 = \bar{v_x^2} + \bar{v_y^2} + \bar{v_z^2} = \quad \Rightarrow \quad \text{velocità quadratica media } (v_x = v_y = v_z) \] \[ = 3 v_x^2 \] \[ v_x^2 = \frac{v_{qm}^2}{3} \quad , \quad F = \frac{m \frac{v_{qm}^2}{3}}{L} = \frac{m v_{qm}^2}{3L} \] \[ P = \frac{F}{L^2} \quad , \quad A = L^2 \quad , \quad V = L^3 \] \[ P = \frac{\frac{m v_{qm}^2}{3}}{L^2} = \frac{m v_{qm}^2}{3V} \quad , \quad P_{TOT} = N \frac{m v_{qm}^2}{3V} \] \[ P = \frac{2N}{3V} K_m \quad \quad \quad \quad \quad N = n N_A \] \(\downarrow\) costante dei gas (8.31) \(\downarrow\) \[ PV = n R K_m \quad , \quad PV = \frac{2}{3} N K_m \quad , \quad \frac{2}{3} N_A T_m = R K_m \quad , \quad T = \frac{2}{3} \frac{N_A}{R} K_m \] \[ K = \frac{R}{N_A} \quad \text{costante di Boltzmann} \] \[ K_m = \frac{3}{2} K T \quad \quad \quad \quad \quad \text{ENERGIA INTERNA DI UN GAS = ENERGIA CINETICA} \] \(\frac{3}{2}\) dipende dai gradi di libertà (cioè dal tipo di gas) \[ \Delta U = \frac{3}{2} K \Delta T \quad \quad \quad \Delta T = 0 \text{ se } T = \text{cost.} \]

es] \(N_2 \Rightarrow 78\%\) , \(O_2 \Rightarrow 21\%\) \[ N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol/moli} \] \[ N = n N_A \quad \text{numero di molecole} \] \[ m = \frac{M}{N_A} \quad , \quad K = 1.38 \times 10^{-23} \quad , \quad R = N_A \cdot K = 8.31 \] \[ M_{N_2} = 28 \text{ g/mol} \quad , \quad M_{O_2} = 32 \text{ g/mol} \quad , \quad v_{qm N_2} \overset{?}{<} v_{qm O_2} \quad , \quad T = 293 \text{ K} \quad , \quad T_0 = 20^\circ \text{C} \] \[ v_{qm N_2} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{N_2}}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8.31 \cdot 293}{28 \cdot 10^{-3}}} = 511 \text{ m/s} \] \[ v_{qm O_2} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8.31 \cdot 293}{32 \cdot 10^{-3}}} = 478 \text{ m/s} \] \[ v_{qm N_2} > v_{qm O_2} \] es] \[ \Delta P = 450 \text{ Pa} \quad , \quad v = ? \quad , \quad \eta = 0.027 \] \[ v = \frac{\Delta P A}{8 \eta L} = \frac{450 \cdot \pi \cdot 5.76 \cdot 10^{-6}}{8 \cdot \pi \cdot (0.0027) \cdot 8.5 \cdot 10^{-2} \text{ m}} = 38.72 \cdot 10^{-4} = 3.872 \cdot 10^{-3} \] \[ A = \pi r^2 = \pi (2.4 \cdot 10^{-3})^2 = 5.76 \] es] \(v_1 = 4 \text{ m/s}\) \[ P_1 = 100 \text{ kPa} \] \[ P_2 = 20 \text{ kPa} \]

\[ \rho = 1000 \text{ Kg/m}^3 \text{ } (H_2O) \] \[ \begin{cases} v_1 S_1 = v_2 S_2 \\ P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \end{cases} \] \[ v_2 = ? \] \[ \frac{S_1}{S_2} = ? \] \[ v_2 = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho} + v_1^2} = \sqrt{\frac{2 \cdot 80 \cdot 10^3}{10^3} + 16} = \sqrt{176} = 13.27 \text{ m/s} \] \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{4 \text{ m/s}}{13.27 \text{ m/s}} = 0.3 \]

PIANO CLAPEYRON \(\downarrow\)

\[ (P_A, V_A, T_A) \quad , \quad (P_B, V_B, T_B) \quad , \quad (P_C, V_C, T_C) \quad , \quad (P_D, V_D, T_D) \] \[ P_A = P_B \quad , \quad T_B = T_C \quad , \quad P_C = P_D \quad , \quad V_A = V_D \] \[ PV = nRT \]

equazioni di Gay-Lussac e equazioni di Boyle \[ \text{ISOBARA} \quad \quad \quad \frac{V}{T} = \text{cost} \Rightarrow \frac{V_A}{T_A} = \frac{V_B}{T_B} \] \[ \text{ISOCORA} \quad \quad \quad \frac{P}{T} = \text{cost} \Rightarrow \frac{P_D}{T_D} = \frac{P_A}{T_A} \] \[ \text{ISOTERMA} \quad \quad \quad PV = \text{cost} \Rightarrow P_B V_B = P_C V_C \] \[ PV = nRT \]

LAVORO DI UNA TRASFORMAZIONE \[ L = \int_A^B P dV = P \int_A^B dV = P(V_B - V_A) = P \Delta V \] \[ L = F s = P A \cdot s = P V \quad , \quad L = \int_A^B P dV = \int_A^B \frac{nRT}{V} dV = nRT \int_A^B \frac{1}{V} dV = nRT \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) \] \[ \text{ISOBARA} \Rightarrow L = P \Delta V \] \[ \text{ISOCORA} \Rightarrow L = 0 \] \[ \text{ISOTERMA} \Rightarrow L = nRT \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) \]

es]

\[ P_i = 1 \text{ atm} = 1.013 \cdot 10^5 \text{ Pa} \quad \quad \quad \quad m = ? \] \[ T_i = 25^\circ \text{C} = 298 \text{ K} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad V_f = ? \] \[ V_i = 5.7 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac{\Delta V}{V_i} = ? \] \[ P_f = 0.85 \text{ atm} = 8.6 \cdot 10^4 \text{ Pa} \] \[ T_f = 12^\circ \text{C} = 285 \text{ K} \]

\[ P_i V_i = n R T_i \quad , \quad n = \frac{P_i V_i}{R T_i} = 0.23 \text{ mol} \] \[ V_f = \frac{n R T_f}{P_f} = 633 \cdot 10^{-5} = 6.4 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3 \] \[ \frac{\Delta V}{V_i} = 12\% \]

DEF) Il calorimetro è lo strumento che si usa per la misura del calore \[ Q = \text{calore} \] \[ 1 \text{ cal} = 4.186 \text{ J} \] \[ Q \begin{cases} + \text{ assorbito} \\ - \text{ ceduto} \end{cases} \] I PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA] \(Q - L = \Delta U\) oss] \(Q\) ed \(L\) dipendono separatamente dalla trasformazione oss] \(\Delta U\) non dipende dalla trasformazione \[ \Delta U = U(B) - U(A) \] \[ \partial Q - \partial L = dU \]

MULINELLO DI JOULE \[ T_B > T_A \] \[ U = mgh \] Abbiamo realizzato una trasformazione ciclica, quello che riscontriamo sperimentalmente è che \(\frac{L}{Q} = \text{cost}.\) In una qualunque trasformazione ciclica di un qualsiasi sistema termodinamico, il rapporto tra il calore complessivo che il sistema ha ricevuto ed il calore complessivo che ha ceduto è sempre soddisfatto \[ \frac{L}{Q} = J \quad , \quad J = 4.186 \text{ Joule} \]

\[ (Q-L)_a + (Q-L)_c = 0 \quad \quad \quad (Q-L)_b + (Q-L)_c = 0 \quad \text{(sottraendo membro a membro)} \] \[ (Q-L)_a - (Q-L)_b = 0 \quad , \quad (Q-L)_a = (Q-L)_b \]

\[ Q - L = f(A, B) = U(B) - U(A) = \Delta U \] \(U(P, V, T\dots)\) è detta energia interna \[ \delta Q - \delta L = dU \]

es]

\[ L_{TOT} = L_1 + L_2 \] \[ L_1 = P \Delta V_1 = 200 \cdot 10^3 \cdot 2 = 400 \cdot 10^3 \text{ J} \] \[ L_2 = \frac{(b+B)h}{2} = \frac{800 \cdot 10^3 \cdot 2}{2} = 800 \cdot 10^3 \text{ J} \] \[ L_{TOT} = 1200 \cdot 10^3 \text{ J} = 1.2 \cdot 10^6 \text{ J} \]

es]

\[ es] \Delta L_{AB} = 1200 \text{ kJ} \] \[ L_{AC} = ? \]

\[ L_{AC} = \underbrace{L_{AB}}_{1200 \text{ kJ}} + \underbrace{L_{BD}}_{1000 \text{ kJ}} + \underbrace{L_{DC}}_{400 \text{ kJ}} = 2600 \text{ kJ} \] \[ b) \quad T_A = 220 \text{ K} \quad , \quad T_C = ? \quad \quad \quad \quad c) \quad Q_{TOT} = ? \] \[ PV = nRT \quad , \quad P_A V_A = n R T_A \quad , \quad P_C V_C = n R T_C \] \(\searrow\) \(\swarrow\) \[ \frac{P_A V_A}{T_A} = \frac{P_C V_C}{T_C} \quad \Rightarrow \quad T_C = \frac{T_A V_C}{V_A} = 5 T_A = 1100 \text{ K} \] \[ Q_{AC} = \underbrace{L_{AC}}_{2600 \text{ kJ}} + \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T \quad \quad , \quad n = \frac{P_A V_A}{R T_A} = 218.79 \text{ mol} \] \[ Q_{TOT} = 2400 \text{ kJ} + 2600 \text{ kJ} = 5000 \text{ kJ} \]

ENERGIA INTERNA CORPO RIGIDO \[ Q - L = \Delta U \quad \quad , \quad u(T) \leftarrow \text{temperatura} \] \(\downarrow\) \(0\) \[ c = \frac{dQ}{m dT} = \frac{du}{m dT} \] \(\downarrow\) calore specifico \(\Rightarrow\) \(c\) è la quantità di calore che va fornita alla massa unitaria per innalzare di \(1^\circ \text{C}\) la sua temperatura \[ m c = C \Rightarrow \text{capacità termica} \] \[ u = m \int c(T) dT = m c T + \text{cost.} \] costante \[ Q - L = m c \underbrace{(T_f - T_i)}_{\Delta T} \] es] \[ m_{H_2O} c_{H_2O} (T_e - T_1) = m_x c_x (T_2 - T_e) \] \[ u = u_1 + u_2 = m_1 c_1 (T_e - T_1) = m_2 c_2 (T_e - T_2) \] es]

\[ \delta Q = P dV + d U(t) \quad , \quad C = mc \] \[ c = \frac{1}{m} \frac{\delta Q}{dT} \quad , \quad c = \frac{1}{m} \frac{\delta Q}{dT} = \frac{1}{m} \frac{(P dV + d U)}{dT} \] se la trasformazione è isocora \(dV = 0 \quad : \quad c_v = \frac{1}{m} \frac{dU}{dT} \quad , \quad dU = m c_v dT\) entro ampi intervalli di temperatura sperimentalmente si osserva che \(c_v\) può essere considerato costante \(\downarrow\) \((250 \text{ K} - 700 \text{ K})\) \[ c_v = \frac{5}{2} R \Rightarrow \text{biatomico} \quad , \quad c_v = \frac{3}{2} R \Rightarrow \text{monoatomico} \] \[ c_v = 3 R \Rightarrow \text{poliatomico} \] \[ u = m c_v T + \text{cost.} \quad \quad \quad Q - L = m c_v (T_f - T_i) \] \[ \delta Q = P dV + m c_v dT \] \[ \text{se la trasformazione è isobara : } C_p = \frac{1}{m} \frac{1}{dT} (P dV + m c_v dT) = \frac{P dV}{m dT} + C_v \] \[ PV = nRT \quad , \quad P dV + \underbrace{dPV}_{0} = n R dT \quad \Rightarrow \quad C_p = R + C_v \quad , \quad R = C_p - C_v \] \[ C_p = \frac{7}{2} R \Rightarrow \text{biatomico} \quad , \quad C_p = \frac{5}{2} R \Rightarrow \text{monoatomico} \quad , \quad C_p = 4 R \Rightarrow \text{poliatomico} \]

ADIABATICA REVERSIBILE PER UN GAS PERFETTO

\[ 0 = P dV + m c_v dT \quad , \quad PV = nRT \quad , \quad P = \frac{nRT}{V} \] \[ 0 = \frac{nRT}{V} dV + m c_v dT \quad , \quad R \frac{dV}{V} = - c_v \frac{dT}{T} \quad , \quad \int R \frac{dV}{V} = - \int c_v \frac{dT}{T} \] \[ R \int \frac{dV}{V} = - c_v \int \frac{dT}{T} \quad , \quad (C_p - C_v) \int \frac{dV}{V} = - c_v \int \frac{dT}{T} \quad , \quad \frac{C_p - C_v}{C_v} \int \frac{dV}{V} = - \int \frac{dT}{T} \] \[ \gamma = \frac{C_p}{C_v} \quad , \quad (\gamma - 1) \log V = - \log T + \text{cost} \quad , \quad (\gamma - 1) \log V + \log T = \text{cost} \] \[ \log V^{(\gamma - 1)} + \log T = \text{cost} \quad , \quad \log (V^{(\gamma - 1)} \cdot T) = \text{cost.} \quad , \quad T \cdot V^{(\gamma - 1)} = \text{cost} \quad , \quad PV^\gamma = \text{cost.} \] \[ \gamma = \frac{5}{3} \Rightarrow \text{monoatomico} \quad , \quad \gamma = \frac{7}{5} \Rightarrow \text{biatomico} \]

es] \(\quad m = 4 \text{ g} \quad , \quad T_A = 27^\circ \text{C}\) \[ V_A = 1 \text{ l} \quad \xrightarrow{\text{isoterma}} \quad V_B = 2 V_A \quad \xrightarrow{\text{adiabatica}} \quad P_c = P_A \] \[ \begin{cases} P_c = ? \\ V_c = ? \\ T_c = ? \\ L_{TOT} = ? \\ Q_{TOT} = ? \end{cases} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \begin{tikzpicture} \draw[thick, ->] (0,-1) -- (0,4) node[right] {$P$}; \draw[thick, ->] (-1,0) -- (5,0) node[right] {$V$}; \draw[thick] (2,3) to[out=-60,in=160] (4,1); \draw[thick] (4,1) to[out=120,in=-45] (3,2.5); \draw[dashed] (0,3) -- (2,3); \draw[dashed] (2,0) -- (2,3); \node at (-0.3, 3) {$P_A$}; \node at (2, -0.3) {$V_A$}; \node at (1.8, 3.2) {A}; \node at (4.2, 1) {B}; \node at (3.2, 2.7) {C}; \draw[->, thick] (2,3) -- (3,1.8); \draw[->, thick] (4,1) -- (3.5, 1.7); \draw[dashed] (0,2.5) -- (3,2.5); \end{tikzpicture} \] \[ P_A V_A = n R T_A \quad , \quad P_A = \frac{n R T_A}{V_A} = 2493 \text{ kPa} \] \[ \text{in A : } \quad P_A = 2493 \text{ kPa} \quad , \quad T_A = 300 \text{ K} \quad , \quad V_A = 1 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3 \] \[ \text{in B : } \quad V_B = 2 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3 \quad , \quad T_B = T_A = 300 \text{ K} \quad , \quad P_B = 1246.5 \text{ kPa} \] \[ P_A V_A = P_B V_B \quad , \quad P_B = P_A \frac{V_A}{V_B} = P_A \cdot \frac{1}{2} = 1246.5 \text{ kPa} \] \[ \text{in C : } \quad P_c = P_A = 2493 \text{ kPa} \quad , \quad V_c = 1.22 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3 \quad , \quad T = 366 \text{ K} \] \[ P_B V_B^\gamma = P_c V_c^\gamma \quad , \quad \left( \frac{V_c}{V_B} \right)^\gamma = \frac{P_B}{P_c} \quad , \quad \frac{V_c}{V_B} = \left( \frac{P_B}{P_c} \right)^{\frac{1}{\gamma}} \quad , \quad V_c = \left( \frac{P_B}{P_c} \right)^{\frac{1}{\gamma}} V_B = 1.22 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3 \] \[ T_c = \frac{P_c V_c}{R} = 396 \text{ K} \] \[ \text{isoterma : } \quad L_{AB} = n R T \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) = R T \ln 2 = 1728 \text{ J} \] \[ Q_{AB} = L_{AB} \] \[ \text{adiabatica : } \quad Q_{BC} = 0 \quad \Rightarrow Q_{TOT} = 1728 \text{ J} \] \[ L_{BC} = \Delta U = n c_v \Delta T = \frac{5}{3} R \cdot (T_c - T_B) = 1330 \text{ J} \] \[ L_{TOT} = L_{AB} + L_{BC} = 3058 \text{ J} \]

GAS PERFETTI Il volume della molecola è molto piccolo ma non trascurabile

\[ PV = nRT \]

\[ \left( P + \frac{a}{V^2} \right) (V - b) = nRT \quad \quad \text{con } a, b \text{ parametri caratteristici dei gas} \] \(\searrow\) FORZE ATTRATTIVE TRA LE VARIE MOLECOLE

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA \[ Q - L = \Delta U \quad \quad \text{principio di conservazione} \] \(\downarrow \quad T = \text{cost}\) \[ Q = L \] [OSS] Non tutte le trasformazioni che soddisfano i principi di conservazione dell’energia possono effettivamente avvenire in natura [ES] \(T = \text{cost} \quad , \quad \Delta U = 0\) MACCHINA TERMICA

Kelvin \(\Rightarrow\) È impossibile realizzare una macchina termica il cui solo risultato sia quello di produrre lavoro scambiando calore con una sola sorgente Clausius \(\Rightarrow\) il passaggio spontaneo va sempre nella direzione del corpo caldo a quello freddo. È impossibile realizzare una macchina termica il cui solo risultato sia quello di trasferire da una sorgente fredda ad una calda

DEF) Il rendimento della macchina termica : \[ \eta = \frac{L}{Q_{ass}} = \frac{Q_{ass} - Q_{ced}}{Q_{ass}} = 1 - \frac{Q_{ced}}{Q_{ass}} \] \[ \eta < 100\% \quad (\text{per Kelvin}) \] MACCHINA DI CARNOT

\[ \eta_C \ge \eta_R \] \(\downarrow\) ideale \(4\) trasformazioni reversibili gas ideale

\[ L_{AB} = n R T_F \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) \quad \quad \quad L_{AB} < 0 \text{ per via della compressione } (V_B < V_A) \] \[ L_{CD} = n R T_C \ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right) \quad \quad \quad L_{CD} > 0 \text{ per via dell'espansione } (V_D > V_C) \] \[ Q_{ced} = |L_{AB}| = n R T_F \left| \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) \right| \] \[ Q_{ass} = L_{CD} = n R T_C \ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right) \] \[ \eta = 1 - \frac{Q_{ced}}{Q_{ass}} \quad , \quad \frac{Q_{ced}}{Q_{ass}} = \frac{n R T_F \left| \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) \right|}{n R T_C \ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right)} = \frac{T_F}{T_C} \frac{\ln\left(\frac{V_A}{V_B}\right)}{\ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right)} = \frac{T_F}{T_C} \]

\[ \text{ADIABATICA } BC : \quad \quad \quad \quad \quad \text{ADIABATICA } DA : \] \[ T_F V_B^{\gamma - 1} = T_C V_C^{\gamma - 1} \quad \quad \quad \quad \quad T_C V_D^{\gamma - 1} = T_F V_A^{\gamma - 1} \] \[ \frac{T_C}{T_F} = \left(\frac{V_B}{V_C}\right)^{\gamma - 1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac{T_C}{T_F} = \left(\frac{V_A}{V_D}\right)^{\gamma - 1} \] \[ \left(\frac{V_B}{V_C}\right)^{\gamma - 1} = \left(\frac{V_A}{V_D}\right)^{\gamma - 1} \quad , \quad \frac{V_B}{V_C} = \frac{V_A}{V_D} \quad , \quad \frac{V_D}{V_C} = \frac{V_A}{V_B} \] \[ L_{Mac} \quad \Delta U = 0 \quad \frac{Q_{ced}}{Q_{ass}} = \frac{T_F}{T_C} \]

Una macchina che opera tra due sorgenti \(T_C\) e \(T_F\) ha rendimento massimo che esegue trasformazioni reversibili. Ovvero tutte le macchine che operano tra le stesse due sorgenti di temperatura \(T_C\) e \(T_F\) hanno lo stesso rendimento. es] \(750 \text{ MW} \quad , \quad t = 1 \text{ h}\)

\[ \eta_{max} = ? \quad , \quad Q_c = ? \] \[ \eta_{max} = 1 - \frac{T_F}{T_C} = 0.45 \Rightarrow 45\% \quad \quad (\eta_R = 28\% \text{ della potenza prodotta}) \] \[ P = \frac{750 \text{ MW}}{0.28} = 2.7 \text{ GW} \quad , \quad Q_c = 0.72 (2.7 \cdot 10^9 \text{ W}) \cdot 3600 \text{ s} = 7 \cdot 10^{12} \text{ J} \]

MACCHINA FRIGORIFERO

es] \(1.\quad h_1 = 2 \text{ m}\) \(\quad h_2 = 1.5 \text{ m}\) \(\quad \alpha_1 = \frac{\pi}{4}\) \(\quad \alpha_2 = \frac{\pi}{6}\) \(\quad \mu_0 = 0\) \(\quad v_i = 0 \text{ m/s}\)

\[ v_f = ? \quad \tau = ? \quad d = ? \quad \quad \quad v_f = ? \text{ se } \mu_0 = 0.1 \] svolgimento Non essendoci attriti abbiamo solo forze conservative: \(E_i = E_f\) \[ E_i = U_i + T_i = m g h_1 \quad , \quad E_f = U_f + T_f = m g h_2 + \frac{1}{2} m v_f^2 \quad \Rightarrow \quad m g h_1 = m g h_2 + \frac{1}{2} m v_f^2 \] \[ v_f = \sqrt{2g(h_1 - h_2)} = \sqrt{2(9.81 \text{ m/s}^2)(2 \text{ m} - 1.5 \text{ m})} = 3.13 \text{ m/s} \] Superato B abbiamo un moto del proiettile con \(v_0 = v_f\) e \(\alpha_2\) come direzione : \[ \begin{cases} x(t) = v_f \cos\alpha_2 t \\ y(t) = h_2 + v_f \sin\alpha_2 t - \frac{1}{2} g t^2 \end{cases} \quad \quad \quad \quad y(\tau) = 0 \] \[ \tau = \frac{v_f \sin\alpha_2 + \sqrt{(v_f \sin\alpha_2)^2 + 2 h_2 g}}{g} = \frac{(3.13 \text{ m/s}) \sin\frac{\pi}{6} + \sqrt{(3.13 \text{ m/s} \sin\frac{\pi}{6})^2 + 2(1.5 \text{ m})(9.81 \text{ m/s}^2)}}{9.81 \text{ m/s}^2} \] \[ = 0.74 \text{ s} \] \[ D = x(\tau) = v_f \cos\alpha_2 \tau = v_f \cos\alpha_2 \frac{v_f \sin\alpha_2 + \sqrt{(v_f \sin\alpha_2)^2 + 2 h_2 g}}{g} = \] \[ = (3.13 \text{ m/s}) \cos\frac{\pi}{6} \frac{(3.13 \text{ m/s}) \sin\frac{\pi}{6} + \sqrt{(3.13 \text{ m/s} \sin\frac{\pi}{6})^2 + 2(1.5 \text{ m})(9.81 \text{ m/s}^2)}}{9.81 \text{ m/s}^2} = \] \[ = 1.99 \text{ m} \] Se tra \(m\) e A,B vi è attrito quindi le forze non si conservano più: \[ E_i + L_A = E_f \quad , \quad L_A = - \int_0^{l_1} \mu_0 m g \cos\alpha_1 dl - \int_0^{l_2} \mu_0 m g \cos\alpha_2 dl = \] \[ = - \mu_0 m g (l_1 \cos\alpha_1 + l_2 \cos\alpha_2) \] \[ h_1 = l_1 \sin\alpha_1 \quad , \quad h_2 = l_2 \sin\alpha_2 \quad , \quad L_A = - \mu_0 m g (h_1 \cot\alpha_1 + h_2 \cot\alpha_2) \] \[ m g h_1 - \mu_0 m g (h_1 \cot\alpha_1 + h_2 \cot\alpha_2) = m g h_2 + \frac{1}{2} m v_f^2 \] \[ v_f = \sqrt{2g[h_1(1 - \cot\alpha_1) + h_2(1 - \cot\alpha_2)]} = \] \[ = \sqrt{2(9.81 \text{ m/s}^2)[(2 \text{ m})(1 - \cot\frac{\pi}{4}) + (1.5 \text{ m})(1 - \cot\frac{\pi}{6})]} = 0.89 \text{ m/s} \]